ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 505 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \(15 \sqrt{\frac{2}{5}} — \sqrt{160}\);
б) \(\sqrt{135} + 10 \sqrt{0,6}\);
в) \(6 \sqrt{\frac{1}{3}} — \sqrt{27}\);
г) \(0,5 \sqrt{24} + 10 \sqrt{\frac{3}{8}}\).

\(а) \ 15 \sqrt{\frac{2}{5}} — \sqrt{160} = \sqrt{225 \cdot \frac{2}{5}} — \sqrt{160} = \sqrt{45 \cdot 2} — \sqrt{160} = \)
\(= \sqrt{90} — \sqrt{160} = 3 \sqrt{10} — 4 \sqrt{10} = — \sqrt{10}\)

\(б) \ \sqrt{135} + 10 \sqrt{0,6} = \sqrt{135} + \sqrt{100 \cdot 0,6} = \sqrt{135} + \sqrt{60} = \)
\(= 3 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} = 5 \sqrt{15}\)

\(в) \ 6 \sqrt{1 \frac{1}{3}} — \sqrt{27} = \sqrt{36 \cdot \frac{4}{3}} — \sqrt{27} = \sqrt{48} — \sqrt{27} = \)
\(= 4 \sqrt{3} — 3 \sqrt{3} = \sqrt{3}\)

\(г) \ 0,5 \sqrt{24} + 10 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{0,25 \cdot 24} + \sqrt{100 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{6} + \sqrt{\frac{25 \cdot 3}{2}} = \)
\(= \sqrt{6} + \sqrt{\frac{25 \cdot 3 \cdot 2}{4 \cdot 2}} = \sqrt{6} + \sqrt{\frac{25}{4} \cdot 6} = \sqrt{6} + \frac{5}{2} \sqrt{6} = 1 \frac{1}{2} \sqrt{6} = \)
\(= 3 \frac{1}{2} \sqrt{6}\)

а) \( 15 \sqrt{\frac{2}{5}} — \sqrt{160} = \sqrt{225 \cdot \frac{2}{5}} — \sqrt{160} = \sqrt{45 \cdot 2} — \sqrt{160} = \)
\(= \sqrt{90} — \sqrt{160} = 3 \sqrt{10} — 4 \sqrt{10} = — \sqrt{10} \)
Сначала мы преобразовали множитель \(15\) под корнем, выразив его как \(\sqrt{225}\), так как \(15^2 = 225\). Это позволило нам объединить число и дробь под одним корнем: \(15 \sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{225 \cdot \frac{2}{5}}\). Далее мы упростили произведение под корнем до \(\sqrt{90}\). Аналогично упростили второй корень \(\sqrt{160} = 4 \sqrt{10}\). После упрощения корней, мы получили выражение \(3 \sqrt{10} — 4 \sqrt{10}\), которое свелось к \(-\sqrt{10}\).

б) \( \sqrt{135} + 10 \sqrt{0,6} = \sqrt{135} + \sqrt{100 \cdot 0,6} = \sqrt{135} + \sqrt{60} = \)
\(= 3 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} = 5 \sqrt{15} \)
Здесь мы представили число \(10\) как \(\sqrt{100}\), чтобы объединить множители под корнем. Затем упростили \(\sqrt{135} = 3 \sqrt{15}\) и \(\sqrt{60} = 2 \sqrt{15}\) за счёт выделения полного квадрата из подкоренного выражения. Поскольку корни одинаковые, их можно сложить, получив \(5 \sqrt{15}\).

в) \( 6 \sqrt{1 \frac{1}{3}} — \sqrt{27} = \sqrt{36 \cdot \frac{4}{3}} — \sqrt{27} = \sqrt{48} — \sqrt{27} = \)
\(= 4 \sqrt{3} — 3 \sqrt{3} = \sqrt{3} \)
Сначала смешанное число \(1 \frac{1}{3}\) перевели в неправильную дробь \(\frac{4}{3}\). Затем умножили подкоренное число \(6\) на это значение, выразив как \(\sqrt{36 \cdot \frac{4}{3}}\). Далее упростили корни: \(\sqrt{48} = 4 \sqrt{3}\) и \(\sqrt{27} = 3 \sqrt{3}\). Поскольку корни одинаковые, вычли множители, получив \(\sqrt{3}\).

г) \( 0,5 \sqrt{24} + 10 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{0,25 \cdot 24} + \sqrt{100 \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt{6} + \sqrt{\frac{25 \cdot 3}{2}} = \)
\(= \sqrt{6} + \sqrt{\frac{25 \cdot 3 \cdot 2}{4 \cdot 2}} = \sqrt{6} + \sqrt{\frac{25}{4} \cdot 6} = \sqrt{6} + \frac{5}{2} \sqrt{6} = 1 \frac{1}{2} \sqrt{6} = \)
\(= 3 \frac{1}{2} \sqrt{6} \)
Для начала \(0,5\) переписали как \(\sqrt{0,25}\), чтобы объединить с \(\sqrt{24}\). Аналогично \(10\) выразили как \(\sqrt{100}\) и объединили с \(\sqrt{\frac{3}{8}}\). Упростили подкоренные выражения, выделив полные квадраты, что позволило представить второй корень в виде \(\frac{5}{2} \sqrt{6}\). Сложив корни с одинаковым подкоренным выражением, получили итоговый результат.