ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 506 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) \(\left(\frac{1}{x + x \sqrt{y}} + \frac{1}{x — x \sqrt{y}}\right) \cdot \frac{y — 1}{2}\);
б) \(\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\right) \cdot \frac{(b — a)^2}{2}\).

\( \text{а) } \left(\frac{1}{x + x \sqrt{y}} + \frac{1}{x — x \sqrt{y}}\right) \cdot \frac{y — 1}{2} = \frac{x — x \sqrt{y} + x + x \sqrt{y}}{(x + x \sqrt{y})(x — x \sqrt{y})} \cdot \frac{y — 1}{2} = \)
\( = \frac{y — 1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 — x^2 y} = \frac{y — 1}{2} \cdot \frac{2x(y — 1)}{x^2 (1 — y) \cdot 2} = -\frac{1}{x} \)

\( \text{б) } \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\right) \cdot \frac{(b — a)^2}{2} = \)
\( = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) — \sqrt{a}(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} \cdot \frac{(b — a)^2}{2} = \)
\( = \frac{a + \sqrt{a b} — a + \sqrt{a b}}{a — b} \cdot \frac{(b — a)^2}{2} = \frac{2 \sqrt{a b} \cdot (a — b)^2}{(a — b) \cdot 2} = \sqrt{a b} (a — b) = \)
\( = a \sqrt{a b} — b \sqrt{a b} \)

а) Рассмотрим выражение \( \left(\frac{1}{x + x \sqrt{y}} + \frac{1}{x — x \sqrt{y}}\right) \cdot \frac{y — 1}{2} \). Сначала приведем сумму дробей к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели отличаются только знаком перед корнем, поэтому общий знаменатель будет произведением этих двух выражений: \( (x + x \sqrt{y})(x — x \sqrt{y}) \). В числителе складываем числители: \( 1 \cdot (x — x \sqrt{y}) + 1 \cdot (x + x \sqrt{y}) = x — x \sqrt{y} + x + x \sqrt{y} \).

Произведение в знаменателе упрощается по формуле разности квадратов:
\( (x + x \sqrt{y})(x — x \sqrt{y}) = x^2 — (x \sqrt{y})^2 = x^2 — x^2 y = x^2 (1 — y) \).
В числителе после сложения остаётся \( x — x \sqrt{y} + x + x \sqrt{y} = 2x \), так как \( — x \sqrt{y} \) и \( + x \sqrt{y} \) взаимно уничтожаются.

Таким образом, выражение принимает вид
\( \frac{2x}{x^2 (1 — y)} \cdot \frac{y — 1}{2} \).
Обратим внимание, что \( y — 1 = -(1 — y) \), поэтому можно переписать как
\( \frac{2x}{x^2 (1 — y)} \cdot \frac{-(1 — y)}{2} \).
Сокращаем множители: \( 2 \) в числителе и знаменателе, \( (1 — y) \) и \( -(1 — y) \) дают минус, \( x \) в числителе и \( x^2 \) в знаменателе сокращаются до \( \frac{1}{x} \). В итоге получается \( -\frac{1}{x} \).

б) Рассмотрим выражение \( \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\right) \cdot \frac{(b — a)^2}{2} \). Для начала упростим разность дробей внутри скобок. Приводим к общему знаменателю, который равен произведению \( (\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) \).

В числителе получаем разность произведений:
\( \sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) — \sqrt{a}(\sqrt{a} — \sqrt{b}) = \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} \sqrt{b} — \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} \sqrt{b} =\) \(= 2 \sqrt{a b} \).
В знаменателе по формуле разности квадратов:
\( (\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a — b \).

Таким образом, выражение в скобках равно \( \frac{2 \sqrt{a b}}{a — b} \). Теперь умножаем это на \( \frac{(b — a)^2}{2} \). Заметим, что \( (b — a)^2 = (a — b)^2 \), так как возведение в квадрат убирает знак. Перепишем множитель как \( \frac{(a — b)^2}{2} \).

Перемножая, получаем:
\( \frac{2 \sqrt{a b}}{a — b} \cdot \frac{(a — b)^2}{2} \).
Сокращаем \( 2 \) в числителе и знаменателе, а также сокращаем один множитель \( (a — b) \) из квадрата с \( (a — b) \) в знаменателе. В итоге остаётся
\( \sqrt{a b} (a — b) \).

Это выражение можно раскрыть в виде разности:
\( a \sqrt{a b} — b \sqrt{a b} \), что и есть окончательный результат.