ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 507 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения
\(\sqrt{b + 49 — 14 \sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14 \sqrt{b}}\)
при \(0 \leq b \leq 49\) не зависит от \(b\).

\[
\sqrt{b+49 — 14\sqrt{b}} + \sqrt{b+49 + 14\sqrt{b}} =
\]
\[
= \sqrt{\left(\sqrt{b}\right)^2 + 7^2 — 2 \cdot 7 \cdot 2 \sqrt{b}} + \sqrt{\left(\sqrt{b}\right)^2 + 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 2 \sqrt{b}} =
\]
\[
= \sqrt{\left(\sqrt{b} — 7\right)^2} + \sqrt{\left(\sqrt{b} + 7\right)^2} = |\sqrt{b} — 7| + |\sqrt{b} + 7|,
\]
так как \(0 \leq b \leq 49\), то \(\sqrt{b}\) сократится и останется:
\[
7 — \sqrt{b} + \sqrt{b} + 7 = 14,
\]
значит, выражение не зависит от \(b\).

\[
\sqrt{b + 49 — 14 \sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14 \sqrt{b}} =
\]

Рассмотрим каждое из выражений под корнем. Внутри первого корня у нас сумма \(b + 49\), из которой вычитается \(14 \sqrt{b}\), а во втором — та же сумма \(b + 49\), но к ней прибавляется \(14 \sqrt{b}\). Чтобы упростить эти выражения, заметим, что \(49 = 7^2\), и попробуем представить подкоренные выражения в виде квадратов бинома.

\[
= \sqrt{\left(\sqrt{b}\right)^2 + 7^2 — 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b} \cdot 2} + \sqrt{\left(\sqrt{b}\right)^2 + 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b} \cdot 2} =
\]

Здесь мы использовали формулу раскрытия квадрата: \(a^2 + b^2 \pm 2ab = (a \pm b)^2\). В нашем случае \(a = \sqrt{b}\), \(b = 7\), и коэффициент 2 перед произведением объясняется тем, что \(14 \sqrt{b} = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b}\).

\[
= \sqrt{\left(\sqrt{b} — 7\right)^2} + \sqrt{\left(\sqrt{b} + 7\right)^2} =
\]

Подкоренные выражения теперь представлены в виде квадратов разности и суммы. Извлечение квадратного корня из квадрата даёт модуль соответствующего выражения, так как корень всегда неотрицателен:

\[
= \left|\sqrt{b} — 7\right| + \left|\sqrt{b} + 7\right|,
\]

Рассмотрим теперь знаки выражений под модулями. Поскольку \(b\) — неотрицательное число, а \(b \leq 49\), то \(\sqrt{b} \leq 7\). Следовательно, выражение \(\sqrt{b} — 7 \leq 0\), а \(\sqrt{b} + 7 > 0\).

Тогда

\[
\left|\sqrt{b} — 7\right| = 7 — \sqrt{b},
\]

а

\[
\left|\sqrt{b} + 7\right| = \sqrt{b} + 7.
\]

Подставим эти значения обратно:

\[
7 — \sqrt{b} + \sqrt{b} + 7 = 14.
\]

Таким образом, выражение не зависит от \(b\), так как все члены с \(\sqrt{b}\) взаимно сокращаются. Итоговое значение равно 14 при любом \(b\) из диапазона \(0 \leq b \leq 49\).