Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 507 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения
\(\sqrt{b + 49 — 14 \sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14 \sqrt{b}}\)
при \(0 \leq b \leq 49\) не зависит от \(b\).
\[
\sqrt{b+49 — 14\sqrt{b}} + \sqrt{b+49 + 14\sqrt{b}} =
\]
\[
= \sqrt{\left(\sqrt{b}\right)^2 + 7^2 — 2 \cdot 7 \cdot 2 \sqrt{b}} + \sqrt{\left(\sqrt{b}\right)^2 + 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 2 \sqrt{b}} =
\]
\[
= \sqrt{\left(\sqrt{b} — 7\right)^2} + \sqrt{\left(\sqrt{b} + 7\right)^2} = |\sqrt{b} — 7| + |\sqrt{b} + 7|,
\]
так как \(0 \leq b \leq 49\), то \(\sqrt{b}\) сократится и останется:
\[
7 — \sqrt{b} + \sqrt{b} + 7 = 14,
\]
значит, выражение не зависит от \(b\).
\[
\sqrt{b + 49 — 14 \sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14 \sqrt{b}} =
\]
Рассмотрим каждое из выражений под корнем. Внутри первого корня у нас сумма \(b + 49\), из которой вычитается \(14 \sqrt{b}\), а во втором — та же сумма \(b + 49\), но к ней прибавляется \(14 \sqrt{b}\). Чтобы упростить эти выражения, заметим, что \(49 = 7^2\), и попробуем представить подкоренные выражения в виде квадратов бинома.
\[
= \sqrt{\left(\sqrt{b}\right)^2 + 7^2 — 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b} \cdot 2} + \sqrt{\left(\sqrt{b}\right)^2 + 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b} \cdot 2} =
\]
Здесь мы использовали формулу раскрытия квадрата: \(a^2 + b^2 \pm 2ab = (a \pm b)^2\). В нашем случае \(a = \sqrt{b}\), \(b = 7\), и коэффициент 2 перед произведением объясняется тем, что \(14 \sqrt{b} = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{b}\).
\[
= \sqrt{\left(\sqrt{b} — 7\right)^2} + \sqrt{\left(\sqrt{b} + 7\right)^2} =
\]
Подкоренные выражения теперь представлены в виде квадратов разности и суммы. Извлечение квадратного корня из квадрата даёт модуль соответствующего выражения, так как корень всегда неотрицателен:
\[
= \left|\sqrt{b} — 7\right| + \left|\sqrt{b} + 7\right|,
\]
Рассмотрим теперь знаки выражений под модулями. Поскольку \(b\) — неотрицательное число, а \(b \leq 49\), то \(\sqrt{b} \leq 7\). Следовательно, выражение \(\sqrt{b} — 7 \leq 0\), а \(\sqrt{b} + 7 > 0\).
Тогда
\[
\left|\sqrt{b} — 7\right| = 7 — \sqrt{b},
\]
а
\[
\left|\sqrt{b} + 7\right| = \sqrt{b} + 7.
\]
Подставим эти значения обратно:
\[
7 — \sqrt{b} + \sqrt{b} + 7 = 14.
\]
Таким образом, выражение не зависит от \(b\), так как все члены с \(\sqrt{b}\) взаимно сокращаются. Итоговое значение равно 14 при любом \(b\) из диапазона \(0 \leq b \leq 49\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!