ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 509 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = \frac{x — 4}{\sqrt{x + 2}}\).

\( y = \frac{x-4}{\sqrt{x+2}} = \frac{(x-4)\left(\sqrt{x-2}\right)}{\left(\sqrt{x+2}\right)\left(\sqrt{x-2}\right)} = \frac{(x-4)\left(\sqrt{x-2}\right)}{x-4} = \)

\( = \sqrt{x-2}. \)

Строим график \( y = \sqrt{x} \) и сдвигаем его на две единицы вниз:

\( y = \frac{x-4}{\sqrt{x+2}} = \frac{(x-4)\left(\sqrt{x-2}\right)}{\left(\sqrt{x+2}\right)\left(\sqrt{x-2}\right)} = \frac{(x-4)\left(\sqrt{x-2}\right)}{x-4} = \)

\( = \sqrt{x-2}. \)

В этом выражении мы видим дробь, в числителе которой стоит разность \( x-4 \), а в знаменателе — корень квадратный из \( x+2 \). Чтобы упростить выражение, мы умножаем числитель и знаменатель на выражение, которое поможет избавиться от корня в знаменателе. Для этого используем множитель \( \sqrt{x-2} \), так как произведение корней \( \sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x-2} \) равно \( \sqrt{(x+2)(x-2)} = \sqrt{x^2 — 4} \), но здесь мы видим, что знаменатель после умножения становится \( (x-4) \), что упрощает дробь.

Далее, после умножения числителя и знаменателя на \( \sqrt{x-2} \), получаем в числителе выражение \( (x-4)\sqrt{x-2} \), а в знаменателе — \( (x-4) \). При условии, что \( x \neq 4 \), эти множители сокращаются, и остается только \( \sqrt{x-2} \). Таким образом, исходное выражение упрощается до \( y = \sqrt{x-2} \).

Для построения графика функции \( y = \sqrt{x-2} \) удобно сначала рассмотреть график функции \( y = \sqrt{x} \), который является стандартной корневой функцией, определенной для \( x \geq 0 \). Таблица значений для функции \( y = \sqrt{x} \) выглядит следующим образом:

График функции \( y = \sqrt{x-2} \) получается сдвигом графика \( y = \sqrt{x} \) вправо на 2 единицы, так как аргумент под корнем уменьшается на 2. Это означает, что для каждого значения \( x \) график функции \( y = \sqrt{x-2} \) соответствует значению \( y = \sqrt{x} \) при \( x \) увеличенном на 2. На графике, приведенном на рисунке, этот сдвиг отражен, и видно, что функция начинается при \( x = 2 \), где значение функции равно нулю.

Таким образом, упрощение функции и построение графика связаны с использованием свойств корня и преобразованием аргумента функции, что позволяет легко понять поведение функции и корректно изобразить её график.