ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 51 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Приведите дробь:
а) \(\frac{x}{a — b}\) к знаменателю \((a — b)^2\);
б) \(\frac{y}{x — a}\) к знаменателю \(x^2 — a^2\);
в) \(\frac{a}{a — 10}\) к знаменателю \(10 — a\);
г) \(\frac{p}{p — 2}\) к знаменателю \(4 — p^2\);
д) \(\frac{mn}{n — m}\) к знаменателю \(m^2 — n^2\).

а) Так как \((a — b)^2 = (a — b)(a — b)\), то:
\(\frac{x}{a — b} \cdot \frac{a — b}{(a — b)^2} = \frac{x(a — b)}{(a — b)(a — b)} = \frac{x(a — b)}{(a — b)^2}\).

б) Так как \(x^2 — a^2 = (x — a)(x + a)\), то:
\(\frac{y}{x — a} \cdot \frac{x + a}{(x — a)(x + a)} = \frac{y(x + a)}{(x — a)(x + a)} = \frac{y(x + a)}{x^2 — a^2}\).

в) Так как \(10 — a = -(a — 10)\), то:
\(\frac{a}{a — 10} = \frac{a \cdot (-1)}{(a — 10) \cdot (-1)} = \frac{-a}{10 — a}\).

г) Так как \(4 — p^2 = (2 — p)(2 + p) = -(p — 2)(p + 2)\), то:
\(\frac{p}{p — 2} = \frac{p \cdot (-1) \cdot (p + 2)}{(p — 2) \cdot (-1) \cdot (p + 2)} = \frac{-p(p + 2)}{4 — p^2}\).

д) Так как \(m^2 — n^2 = (m — n)(m + n) = -(n — m)(n + m)\), то:
\(\frac{mn}{n — m} = \frac{mn \cdot (-1) \cdot (n + m)}{(n — m) \cdot (-1) \cdot (n + m)} = \frac{-mn(n + m)}{m^2 — n^2}\).

а) Рассмотрим выражение \((a — b)^2\). По определению квадрат разности равен произведению двух одинаковых скобок: \((a — b)^2 = (a — b)(a — b)\). Это значит, что мы можем представить степень в виде обычного произведения. В исходном выражении нам нужно упростить дробь \(\frac{x}{a — b}\) и умножить её на \(\frac{a — b}{(a — b)^2}\). Подставляя определение, получаем \(\frac{x}{a — b} \cdot \frac{a — b}{(a — b)(a — b)}\).

Далее сокращаем общий множитель \(a — b\) в числителе и знаменателе, так как \(a — b \neq 0\). После сокращения остаётся \(\frac{x(a — b)}{(a — b)^2}\), где в числителе умножение на \(a — b\) осталось, а в знаменателе — квадрат. Это упрощение помогает нам лучше видеть структуру выражения и облегчает дальнейшие преобразования.

б) В этом пункте используется формула разности квадратов: \(x^2 — a^2 = (x — a)(x + a)\). Это классическое разложение на множители, которое позволяет заменить разность квадратов на произведение двух скобок. В нашем выражении дробь \(\frac{y}{x — a}\) умножается на \(\frac{x + a}{(x — a)(x + a)}\). Подставляя разложение, получаем \(\frac{y}{x — a} \cdot \frac{x + a}{(x — a)(x + a)} = \frac{y(x + a)}{(x — a)(x + a)}\).

После этого знаменатель можно заменить на \(x^2 — a^2\), что даёт \(\frac{y(x + a)}{x^2 — a^2}\). Такой переход упрощает выражение и позволяет работать с более компактной формой, которая часто встречается в алгебраических преобразованиях.

в) Здесь используется свойство отрицания разности: \(10 — a = -(a — 10)\). Это равенство позволяет менять порядок вычитания, меняя знак на противоположный. В исходном выражении дробь \(\frac{a}{a — 10}\) можно умножить числитель и знаменатель на \(-1\), чтобы поменять знак и порядок в знаменателе. Получаем \(\frac{a \cdot (-1)}{(a — 10) \cdot (-1)} = \frac{-a}{10 — a}\).

Такое преобразование полезно для упрощения выражений и приведения их к более удобному виду, особенно если в дальнейшем нужно сравнивать или складывать дроби с разными знаменателями.

г) В этом пункте применяется формула разности квадратов для выражения \(4 — p^2\), которое раскладывается как \((2 — p)(2 + p)\). Также используется равенство \((2 — p)(2 + p) = -(p — 2)(p + 2)\), что позволяет изменить порядок множителей с одновременной сменой знака. В исходном выражении дробь \(\frac{p}{p — 2}\) умножается на \(\frac{p \cdot (-1) \cdot (p + 2)}{(p — 2) \cdot (-1) \cdot (p + 2)}\), что даёт \(\frac{-p(p + 2)}{4 — p^2}\).

Это преобразование облегчает работу с выражением, позволяя представить его через разность квадратов, что часто упрощает дальнейшие вычисления и упрощения.

д) В последнем пункте используется формула разности квадратов для \(m^2 — n^2\), которая равна \((m — n)(m + n)\). Также применяется равенство \((m — n)(m + n) = -(n — m)(n + m)\), позволяющее менять порядок множителей с изменением знака. Исходное выражение \(\frac{mn}{n — m}\) умножается на \(\frac{mn \cdot (-1) \cdot (n + m)}{(n — m) \cdot (-1) \cdot (n + m)}\), что приводит к \(\frac{-mn(n + m)}{m^2 — n^2}\).

Такое представление позволяет упростить выражение и использовать стандартные формулы разложения для более удобной работы с алгебраическими дробями и выражениями, что часто встречается в математических задачах.