ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 517 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Верно ли утверждение:
а) неполное квадратное уравнение \(x^2 — 19 = 0\) не имеет корней;
б) неполное квадратное уравнение \(x^2 + 19 = 0\) не имеет корней;
в) неполное квадратное уравнение \(x^2 + 19x = 0\) не имеет корней?

а) Неполное квадратное уравнение \(x^2 — 19 = 0\) не имеет корней \(\Rightarrow\) неверно, потому что это уравнение имеет два корня: \(x^2 = 19 \Rightarrow x = \pm \sqrt{19}\).
б) Неполное квадратное уравнение \(x^2 + 19 = 0\) не имеет корней \(\Rightarrow\) верно, потому что \(x^2\) не может быть отрицательным числом.
в) Неполное квадратное уравнение \(x^2 + 19x = 0\) не имеет корней \(\Rightarrow\) неверно, потому что:
\(x(x + 19) = 0 \Rightarrow x = 0\) или \(x = -19\).

а) Неполное квадратное уравнение \(x^2 — 19 = 0\) утверждается как не имеющее корней, что неверно. Для проверки решим уравнение. Переносим свободный член на другую сторону:
\(x^2 = 19\).
Далее извлекаем корень из обеих частей уравнения, учитывая, что квадратный корень может иметь два знака: положительный и отрицательный. Получаем:
\(x = \pm \sqrt{19}\).
Таким образом, уравнение имеет два действительных корня, а значит утверждение о том, что корней нет, является ошибочным.

б) Рассмотрим уравнение \(x^2 + 19 = 0\), которое утверждается как не имеющее корней. Перенесём свободный член:
\(x^2 = -19\).
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел. Это подтверждает правильность утверждения, что корней нет, поскольку \(x^2 \geq 0\) для любого \(x \in \mathbb{R}\).

в) Уравнение \(x^2 + 19x = 0\) также рассматривается как не имеющее корней, что неверно. Для решения вынесем общий множитель:
\(x(x + 19) = 0\).
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
\(x = 0\) или \(x + 19 = 0\).
Отсюда получаем два корня:
\(x = 0\) и \(x = -19\).
Следовательно, уравнение имеет два корня, и утверждение о их отсутствии неверно.