ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 518 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значения переменной \(a\), при которых:
а) значение выражения \(5a^2 + 5a — 6\) равно 24;
б) значение выражения \(a(a — 4)\) равно 60.

\( \text{а) } 5a^2 + 5a — 6 = 24 \)
\( 5a^2 + 5a — 6 — 24 = 0 \)
\( 5a^2 + 5a — 30 = 0 \quad | : 5 \)
\( a^2 + a — 6 = 0. \)
\( D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25. \)
\( a_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3; \)
\( a_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2. \)
Ответ: при \( a = -3 \) и при \( a = 2. \)

\( \text{б) } a(a — 4) = 60 \)
\( a^2 — 4a — 60 = 0. \)
\( D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256. \)
\( a_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 — 16}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6; \)
\( a_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10. \)
Ответ: при \( a = -6 \) и при \( a = 10. \)

а) \( 5a^2 + 5a — 6 = 24 \)
Для начала перенесём все слагаемые в одну сторону уравнения, чтобы получить квадратное уравнение, равное нулю:
\( 5a^2 + 5a — 6 — 24 = 0 \)
\( 5a^2 + 5a — 30 = 0 \)
Далее упростим уравнение, разделив все члены на 5, так как 5 — общий множитель:
\( a^2 + a — 6 = 0. \)
Теперь решаем стандартное квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \) с коэффициентами \( a = 1, b = 1, c = -6 \). Для этого найдём дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \):
\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25. \)
Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Вычисляем их по формуле:
\( a_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3; \)
\( a_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2. \)
Таким образом, решения уравнения — \( a = -3 \) и \( a = 2. \)

б) \( a(a — 4) = 60 \)
Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:
\( a^2 — 4a = 60 \)
Переносим 60 в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:
\( a^2 — 4a — 60 = 0. \)
Определим коэффициенты: \( a = 1, b = -4, c = -60 \). Теперь найдём дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256. \)
Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня. Найдём их:
\( a_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 — 16}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6; \)
\( a_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10. \)
Таким образом, уравнение имеет два решения: \( a = -6 \) и \( a = 10. \)