ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 520 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:
а) \((x + 3)(x — 4) = -12\);
б) \(\frac{1}{3}t + (2t + 1)\left(-\frac{1}{3}t — 1\right) = 0\);
в) \(3x(2x + 3) = 2x(x + 4,5) + 2\);
г) \((x — 1)(x + 1) = 2(x^2 — 3)\).

\(a) (x+3)(x-4) = -12 \)
\(x^2 — 4x + 3x — 12 = -12 \)
\(x^2 — x = 0 \)
\(x(x-1) = 0 \)
\(x = 0, \quad x = 1.\)

\(б) \quad 1 \frac{2}{3} t + (2t + 1) \left(\frac{1}{3} t — 1\right) = 0 \)
\(\frac{5}{3} t + \frac{2}{3} t^2 — 2t + \frac{1}{3} t — 1 = 0 \)
\(\frac{2}{3} t^2 + \frac{6}{3} t — 2t — 1 = 0 \)
\(\frac{2}{3} t^2 = 1 \)
\(t^2 = \frac{3}{2} \)
\(t = \pm \sqrt{1,5}\)

\(в) \quad 3x(2x + 3) = 2x(x + 4,5) + 2 \)
\(6x^2 + 9x = 2x^2 + 9x + 2 \)
\(6x^2 — 2x^2 = 2 \)
\(4x^2 = 2 \)
\(x^2 = \frac{2}{4} \)
\(x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(г) \quad (x-1)(x+1) = 2(x^2 — 3) \)
\(x^2 — 1 = 2x^2 — 6 \)
\(2x^2 — x^2 = -1 + 6 \)
\(x^2 = 5 \)
\(x = \pm \sqrt{5}\)

а) Умножаем скобки слева, раскрывая выражение \((x+3)(x-4)\). Получаем \(x^2 — 4x + 3x — 12\). Затем приравниваем это выражение к \(-12\), как указано в уравнении: \(x^2 — 4x + 3x — 12 = -12\). Далее упрощаем левую часть, складывая подобные члены: \(x^2 — x — 12 = -12\).

Переносим \(-12\) из правой части в левую, меняя знак, и получаем \(x^2 — x — 12 + 12 = 0\), что упрощается до \(x^2 — x = 0\). Это квадратное уравнение можно разложить на множители: \(x(x-1) = 0\). Из этого следует, что либо \(x=0\), либо \(x-1=0\), то есть \(x=1\).

б) Раскрываем скобки в выражении \(1 \frac{2}{3} t + (2t + 1) \left(\frac{1}{3} t — 1\right) = 0\). Первое слагаемое переписываем как \(\frac{5}{3} t\). Во втором раскрываем скобки по дистрибутивному закону: \((2t + 1) \cdot \frac{1}{3} t — (2t + 1) \cdot 1 = \frac{2}{3} t^2 + \frac{1}{3} t — 2t — 1\).

Складываем все слагаемые: \(\frac{5}{3} t + \frac{2}{3} t^2 + \frac{1}{3} t — 2t — 1 = 0\). Приводим к общему виду: \(\frac{2}{3} t^2 + \left(\frac{5}{3} t + \frac{1}{3} t — 2t\right) — 1 = 0\). Суммируем коэффициенты при \(t\): \(\frac{5}{3} + \frac{1}{3} = 2\), значит \(2t — 2t = 0\). Уравнение упрощается до \(\frac{2}{3} t^2 — 1 = 0\).

Переносим \(-1\) вправо: \(\frac{2}{3} t^2 = 1\). Домножаем обе части на \(\frac{3}{2}\), получаем \(t^2 = \frac{3}{2}\). Извлекаем корень: \(t = \pm \sqrt{1,5}\).

в) Раскрываем скобки слева: \(3x(2x + 3) = 6x^2 + 9x\). Справа раскрываем скобки: \(2x(x + 4,5) + 2 = 2x^2 + 9x + 2\). Приравниваем левую и правую части: \(6x^2 + 9x = 2x^2 + 9x + 2\).

Вычитаем \(2x^2 + 9x\) из обеих частей: \(6x^2 + 9x — 2x^2 — 9x = 2\), упрощаем: \(4x^2 = 2\). Делим обе части на 4: \(x^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

Извлекаем корень: \(x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\), так как \(\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

г) Раскрываем скобки слева: \((x-1)(x+1) = x^2 — 1\). Справа раскрываем скобки: \(2(x^2 — 3) = 2x^2 — 6\). Приравниваем обе части: \(x^2 — 1 = 2x^2 — 6\).

Переносим все в одну сторону: \(x^2 — 1 — 2x^2 + 6 = 0\), упрощаем: \(-x^2 + 5 = 0\). Переносим \(-x^2\) вправо: \(5 = x^2\).

Извлекаем корень: \(x = \pm \sqrt{5}\).