ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 525 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Две группы туристов отправились одновременно из одного пункта — одна на север со скоростью 4 км/ч, а другая на запад со скоростью 5 км/ч. Через какое время расстояние между туристами окажется равным 16 км?

Пусть через \( t \) часов расстояние станет 16 км,
тогда первый прошел \( 4t \) км, а второй \( 5t \) км.
Составим уравнение (по теореме Пифагора):
\( (4t)^2 + (5t)^2 = 16^2 \)
\( 16t^2 + 25t^2 = 256 \)
\( 41t^2 = 256 \)
\( t^2 = \frac{256}{41} \)
\( t = \sqrt{\frac{256}{41}} = \frac{16}{\sqrt{41}} \approx \frac{16}{6{,}4} \approx 2{,}5 \) часа.

Ответ: через 2,5 часа.

Пусть через \( t \) часов расстояние между двумя точками станет равным 16 км. За это время первый человек пройдет путь, равный \( 4t \) км, так как его скорость равна 4 км/ч, а второй человек пройдет путь \( 5t \) км, поскольку его скорость равна 5 км/ч. Таким образом, расстояния, пройденные каждым из них, зависят от времени \( t \), и мы можем выразить их в виде \( 4t \) и \( 5t \).

Для нахождения времени \( t \), через которое расстояние между ними будет 16 км, используем теорему Пифагора, так как движение происходит под прямым углом, и расстояние между ними является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \( 4t \) и \( 5t \). Составим уравнение: \( (4t)^2 + (5t)^2 = 16^2 \). Раскроем скобки и возведем в квадрат: \( 16t^2 + 25t^2 = 256 \). Сложим подобные члены: \( 41t^2 = 256 \).

Далее решаем уравнение относительно \( t^2 \), разделив обе части на 41: \( t^2 = \frac{256}{41} \). Чтобы найти \( t \), извлечем квадратный корень: \( t = \sqrt{\frac{256}{41}} \). Это равно \( \frac{16}{\sqrt{41}} \), так как \( \sqrt{256} = 16 \). Приблизительно \( \sqrt{41} \approx 6{,}4 \), поэтому \( t \approx \frac{16}{6{,}4} = 2{,}5 \) часа. Таким образом, через 2,5 часа расстояние между ними станет 16 км.