Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 53 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Разложите на множители:
а) \(5bc — 5c\);
б) \(10n + 15n^2\);
в) \(8ab + 12bc\);
г) \(5y — 5x + y^2 — xy\);
д) \(a^2 — 9\);
е) \(x^2 + 10x + 25\);
ж) \(y^2 — 2y + 1\);
з) \(a^3 + 64\);
и) \(b^3 — 1\).
а) \(5bc — 5c = 5c(b — 1)\)
Вынесли общий множитель \(5c\).
б) \(10n + 15n^2 = 5n(2 + 3n)\)
Вынесли общий множитель \(5n\).
в) \(8ab + 12bc = 4b(2a + 3c)\)
Вынесли общий множитель \(4b\).
г) \(5y — 5x + y^2 — xy = 5(y — x) + y(y — x) = (y — x)(5 + y)\)
Группировка по выражению \((y — x)\).
д) \(a^2 — 9 = (a — 3)(a + 3)\)
Разложение разности квадратов.
е) \(x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5)\)
Квадрат двучлена.
ж) \(y^2 — 2y + 1 = (y — 1)^2 = (y — 1)(y — 1)\)
Квадрат двучлена.
з) \(a^3 + 64 = (a + 4)(a^2 — 4a + 16)\)
Разложение суммы кубов.
и) \(b^3 — 1 = (b — 1)(b^2 + b + 1)\)
Разложение разности кубов.
а) В выражении \(5bc — 5c\) заметно, что оба слагаемых содержат общий множитель \(5c\). Чтобы упростить выражение, нужно вынести этот общий множитель за скобки, так как это стандартный прием для упрощения алгебраических выражений. При этом внутри скобок останется разность множителей, которые были при \(5c\): в первом слагаемом это \(b\), а во втором — 1, так как \(5c = 5c \cdot 1\). В итоге получаем: \(5c(b — 1)\).
Такой прием позволяет представить исходное выражение в виде произведения двух множителей, что часто упрощает дальнейшие вычисления или преобразования. Вынесение общего множителя — базовый навык работы с многочленами, который помогает находить общий множитель и сокращать выражения.
б) В выражении \(10n + 15n^2\) необходимо найти общий множитель. Здесь видно, что оба слагаемых содержат переменную \(n\) и числовой множитель, который делится на 5. Наибольший общий множитель по числам — 5, а по переменным — \(n\), так как \(n^2\) включает \(n\), но в первом слагаемом степень равна 1, значит общий множитель — \(n\). Вынесем \(5n\) за скобки: \(5n(2 + 3n)\).
Внутри скобок остаются коэффициенты, которые были при \(5n\) в исходных слагаемых: из \(10n\) после деления на \(5n\) остается 2, из \(15n^2\) — 3n. Это упрощение выражения помогает в дальнейшем решении уравнений или упрощении алгебраических выражений.
в) В выражении \(8ab + 12bc\) нужно найти общий множитель. По коэффициентам 8 и 12 наибольший общий делитель — 4. Переменная \(b\) присутствует в обоих слагаемых. Следовательно, общий множитель — \(4b\). Вынесем его за скобки: \(4b(2a + 3c)\).
Внутри скобок остаются множители, которые были при \(4b\) в исходных слагаемых: из \(8ab\) после деления на \(4b\) остается \(2a\), из \(12bc\) — \(3c\). Вынесение общего множителя помогает упростить выражение и подготовить его к дальнейшему анализу.
г) Выражение \(5y — 5x + y^2 — xy\) можно сгруппировать по общему множителю. Сначала выделим \(5(y — x)\) из первых двух членов, так как \(5y — 5x = 5(y — x)\). Далее рассмотрим оставшиеся слагаемые \(y^2 — xy\), из которых можно вынести \(y(y — x)\). Теперь выражение принимает вид \(5(y — x) + y(y — x)\).
Общий множитель у двух слагаемых — \((y — x)\), его можно вынести за скобки: \((y — x)(5 + y)\). Это разложение демонстрирует, как группировка и вынесение общего множителя упрощают выражение и делают его более наглядным.
д) В разности квадратов \(a^2 — 9\) можно применить формулу разности квадратов: \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\). Здесь \(A = a\), \(B = 3\) (так как \(9 = 3^2\)). Применяя формулу, получаем: \((a — 3)(a + 3)\).
Это классический способ разложения выражений, который часто используется для упрощения или решения уравнений. Разложение на множители помогает выявить корни и свойства выражения.
е) Многочлен \(x^2 + 10x + 25\) является квадратом двучлена, так как \(25 = 5^2\) и двойной произведение \(2 \cdot x \cdot 5 = 10x\) совпадает с коэффициентом при \(x\). Значит, выражение можно записать как \((x + 5)^2\).
Раскрывая скобки, получаем \((x + 5)(x + 5)\). Это разложение позволяет работать с выражением как с произведением одинаковых множителей, что упрощает вычисления и анализ.
ж) Квадратный трехчлен \(y^2 — 2y + 1\) также является квадратом двучлена, поскольку \(1 = 1^2\), а удвоенное произведение \(2 \cdot y \cdot 1 = 2y\) совпадает с коэффициентом при \(y\) с минусом. Значит, можно записать как \((y — 1)^2\).
Раскрывая скобки, получаем \((y — 1)(y — 1)\). Это классический пример полного квадрата, который часто встречается в алгебре и помогает упростить выражения.
з) Сумма кубов \(a^3 + 64\) можно разложить по формуле суммы кубов: \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2)\). Здесь \(A = a\), \(B = 4\) (так как \(64 = 4^3\)). Подставляя, получаем: \((a + 4)(a^2 — 4a + 16)\).
Это разложение помогает упростить выражение и найти его корни. Формула суммы кубов часто используется в алгебре для факторизации.
и) Разность кубов \(b^3 — 1\) раскладывается по формуле разности кубов: \(A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2)\). Здесь \(A = b\), \(B = 1\). Применяя формулу, получаем: \((b — 1)(b^2 + b + 1)\).
Такое разложение помогает упростить выражение и найти его корни, что полезно при решении уравнений и анализе многочленов.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!