ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 533 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \(14x^2 — 5x — 1 = 0\);
б) \(-y^2 + 3y + 5 = 0\);
в) \(2x^2 + x + 67 = 0\);
г) \(1 — 18p + 81p^2 = 0\);
д) \(-11y + y^2 — 152 = 0\);
е) \(18 + 3x^2 — x = 0\).

а) \(14x^{2} — 5x — 1 = 0\)
\(D = 25 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81 = 9^{2}\)
\(x_{1} = \frac{5 — 9}{14 \cdot 2} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}, \quad x_{2} = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}\).
Ответ: \(x = -\frac{1}{7}, x = \frac{1}{2}\).

б) \(-y^{2} + 3y + 5 = 0\)
\(D = 9 + 4 \cdot 5 = 9 + 20 = 29 = \sqrt{29}\)
\(y_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{-2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\).
Ответ: \(y = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\).

в) \(2x^{2} + x + 67 = 0\)
\(D = 1 — 4 \cdot 2 \cdot 67 < 0\) Ответ: корней нет. г) \(1 - 18p + 81p^{2} = 0\) \(81p^{2} - 18p + 1 = 0\) \(D = 324 - 4 \cdot 81 = 324 - 324 = 0\) \(p = \frac{18}{2 \cdot 81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}\). Ответ: \(p = \frac{1}{9}\). д) \(-11y + y^{2} - 152 = 0\) \(y^{2} - 11y - 152 = 0\) \(D = 121 + 4 \cdot 152 = 121 + 608 = 729 = 27^{2}\) \(y_{1} = \frac{11 - 27}{2} = \frac{-16}{2} = -8, \quad y_{2} = \frac{11 + 27}{2} = \frac{38}{2} = 19\). Ответ: \(y = -8, y = 19\). е) \(18 + 3x^{2} - x = 0\) \(3x^{2} - x + 18 = 0\) \(D = 1 - 4 \cdot 3 \cdot 18 < 0\) Ответ: корней нет.

а) \(14x^{2} — 5x — 1 = 0\) — это квадратное уравнение с коэффициентами \(a = 14\), \(b = -5\), \(c = -1\). Для решения используем дискриминант \(D = b^{2} — 4ac\). Подставляем значения:
\(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81\).
Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 9}{28}\).
Вычисляем отдельно:
\(x_{1} = \frac{5 — 9}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}\),
\(x_{2} = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}\).
Таким образом, корни уравнения — \(x = -\frac{1}{7}\) и \(x = \frac{1}{2}\).

б) Уравнение \(-y^{2} + 3y + 5 = 0\) можно переписать как \(y^{2} — 3y — 5 = 0\) умножением на \(-1\) для удобства. Тут \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -5\). Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29\).
Корни находятся по формуле:
\(y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\).
Знак минус перед \(y^{2}\) изменён для упрощения, но корни остаются теми же. Значит, ответ — \(y = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\).

в) Рассмотрим уравнение \(2x^{2} + x + 67 = 0\) с коэффициентами \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = 67\). Вычислим дискриминант:
\(D = 1^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 67 = 1 — 536 = -535\).
Так как \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что пересечения с осью \(x\) нет, и корней в множестве действительных чисел \(\emptyset\). г) Уравнение \(1 - 18p + 81p^{2} = 0\) можно переписать в стандартном виде: \(81p^{2} - 18p + 1 = 0\), где \(a = 81\), \(b = -18\), \(c = 1\). Рассчитаем дискриминант: \(D = (-18)^{2} - 4 \cdot 81 \cdot 1 = 324 - 324 = 0\). Дискриминант равен нулю, значит, уравнение имеет один корень, вычисляемый по формуле: \(p = \frac{18}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}\). Таким образом, единственный корень — \(p = \frac{1}{9}\). д) Уравнение \(-11y + y^{2} - 152 = 0\) перепишем в стандартном виде: \(y^{2} - 11y - 152 = 0\), где \(a = 1\), \(b = -11\), \(c = -152\). Рассчитаем дискриминант: \(D = (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-152) = 121 + 608 = 729\). Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня:
\(y_{1,2} = \frac{11 \pm 27}{2}\).
Вычисляем корни отдельно:
\(y_{1} = \frac{11 — 27}{2} = \frac{-16}{2} = -8\),
\(y_{2} = \frac{11 + 27}{2} = \frac{38}{2} = 19\).
Ответ: \(y = -8\) и \(y = 19\).

е) Уравнение \(18 + 3x^{2} — x = 0\) приведём к стандартному виду:
\(3x^{2} — x + 18 = 0\), где \(a = 3\), \(b = -1\), \(c = 18\). Рассчитаем дискриминант:
\(D = (-1)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 18 = 1 — 216 = -215\).
Поскольку \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней, значит, пересечений с осью \(x\) нет, корней в множестве действительных чисел \(\emptyset\).