ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 534 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) \(5x^2 — 11x + 2 = 0\);
б) \(2p^2 + 7p — 30 = 0\);
в) \(9y^2 — 30y + 25 = 0\);
г) \(35x^2 + 2x — 1 = 0\);
д) \(2y^2 — y — 5 = 0\);
е) \(16x^2 — 8x + 1 = 0\).

а) \(5x^2 — 11x + 2 = 0\)
\(D = 121 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 — 40 = 81 = 9^2\)
\(x_1 = \frac{11 — 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2,\quad x_2 = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2.\)
Ответ: \(x = 0,2; x = 2.\)

б) \(2p^2 + 7p — 30 = 0\)
\(D = 49 + 4 \cdot 2 \cdot 30 = 49 + 240 = 289 = 17^2\)
\(p_1 = \frac{-7 — 17}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6,\quad p_2 = \frac{-7 + 17}{4} = \frac{10}{4} = 2,5.\)
Ответ: \(p = -6; p = 2,5.\)

в) \(9y^2 — 30y + 25 = 0\)
\(D = 900 — 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 — 900 = 0\)
\(y = \frac{30}{2 \cdot 9} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}.\)
Ответ: \(y = 1 \frac{2}{3}.\)

г) \(35x^2 + 2x — 1 = 0\)
\(D = 4 + 4 \cdot 35 = 4 + 140 = 144 = 12^2\)
\(x_1 = \frac{-2 — 12}{2 \cdot 35} = \frac{-14}{70} = -\frac{1}{5} = -0,2,\quad x_2 = \frac{-2 + 12}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}.\)
Ответ: \(x = -0,2; x = \frac{1}{7}.\)

д) \(2y^2 — y — 5 = 0\)
\(D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 1 + 40 = 41 = \sqrt{41}^2\)
\(y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}.\)
Ответ: \(y = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}.\)

е) \(16x^2 — 8x + 1 = 0\)
\(D = 64 — 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 — 64 = 0\)
\(x = \frac{8}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}.\)
Ответ: \(x = \frac{1}{4}.\)

а) \(5x^2 — 11x + 2 = 0\)
Для решения квадратного уравнения сначала вычисляем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a=5\), \(b=-11\), \(c=2\). Подставляем:
\(D = (-11)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 — 40 = 81\).
Так как \(D = 81 = 9^2\), дискриминант положительный и является квадратом целого числа, значит уравнение имеет два вещественных корня.

Далее находим корни по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем:
\(x_1 = \frac{11 — 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2\),
\(x_2 = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2\).
Таким образом, корни уравнения равны \(0,2\) и \(2\).

б) \(2p^2 + 7p — 30 = 0\)
Снова вычисляем дискриминант: \(D = b^2 — 4ac\), где \(a=2\), \(b=7\), \(c=-30\).
\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289\).
Поскольку \(289 = 17^2\), дискриминант положительный и квадрат целого числа, значит два корня будут рациональными.

Находим корни:
\(p_1 = \frac{-7 — 17}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6\),
\(p_2 = \frac{-7 + 17}{4} = \frac{10}{4} = 2,5\).
Ответ: корни уравнения \(-6\) и \(2,5\).

в) \(9y^2 — 30y + 25 = 0\)
Вычисляем дискриминант: \(D = (-30)^2 — 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 — 900 = 0\).
Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень, кратный два раза.

Корень находится по формуле \(y = \frac{-b}{2a}\):
\(y = \frac{30}{2 \cdot 9} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}\).
Таким образом, уравнение имеет единственный корень \(y = 1 \frac{2}{3}\).

г) \(35x^2 + 2x — 1 = 0\)
Вычисляем дискриминант:
\(D = 2^2 — 4 \cdot 35 \cdot (-1) = 4 + 140 = 144\).
Так как \(144 = 12^2\), дискриминант положительный и квадрат целого числа.

Находим корни:
\(x_1 = \frac{-2 — 12}{2 \cdot 35} = \frac{-14}{70} = -\frac{1}{5} = -0,2\),
\(x_2 = \frac{-2 + 12}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}\).
Корни уравнения: \(-0,2\) и \(\frac{1}{7}\).

д) \(2y^2 — y — 5 = 0\)
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41\).
Дискриминант положительный, но не является полным квадратом, значит корни будут иррациональными.

Корни находятся по формуле:
\(y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{4}\).
Таким образом, уравнение имеет два иррациональных корня, выраженных через корень из 41.

е) \(16x^2 — 8x + 1 = 0\)
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 — 64 = 0\).
Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один двойной корень.

Корень вычисляем по формуле:
\(x = \frac{8}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\).
Таким образом, уравнение имеет единственный корень \(x = \frac{1}{4}\).