ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 535 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\):

а) трёхчлен \(x^2 — 11x + 31\) принимает значение, равное 1;
б) значения многочленов \(x^2 — 5x — 3\) и \(2x — 5\) равны;
в) двучлен \(7x + 1\) равен трёхчлену \(3x^2 — 2x + 1\);
г) трёхчлен \(-2x^2 + 5x + 6\) равен двучлену \(4x^2 + 5x\)?

а) \(x^2 — 11x + 31 = 1\)
\(x^2 — 11x + 30 = 0\)
\(D = 121 — 4 \cdot 30 = 121 — 120 = 1\)
\(x_1 = \frac{11 — 1}{2} = \frac{10}{2} = 5,\quad x_2 = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6.\)
Ответ: \(x = 5, x = 6.\)

б) \(x^2 — 5x — 3 = 2x — 5\)
\(x^2 — 5x — 3 — 2x + 5 = 0\)
\(x^2 — 7x + 2 = 0\)
\(D = 49 — 4 \cdot 2 = 49 — 8 = 41 = \sqrt{41}\)
\(x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2}.\)
Ответ: \(x = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2}.\)

в) \(7x + 1 = 3x^2 — 2x + 1\)
\(3x^2 — 2x + 1 — 7x — 1 = 0\)
\(3x^2 — 9x = 0\)
\(3x(x — 3) = 0\)
\(x = 0, \quad x = 3.\)
Ответ: \(x = 0, x = 3.\)

г) \(-2x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 5x\)
\(4x^2 + 5x + 2x^2 — 5x — 6 = 0\)
\(6x^2 — 6 = 0\)
\(6x^2 = 6\)
\(x^2 = 1\)
\(x = \pm 1.\)
Ответ: \(x = \pm 1.\)

а) Начинаем с уравнения \(x^2 — 11x + 31 = 1\). Чтобы привести уравнение к стандартному виду квадратного уравнения, переносим 1 вправо: \(x^2 — 11x + 31 — 1 = 0\), то есть \(x^2 — 11x + 30 = 0\). Теперь у нас классическое квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-11\), \(c=30\).

Для решения вычисляем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\). Подставляем значения: \(D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 — 120 = 1\). Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два вещественных корня. Корни находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем: \(x_1 = \frac{11 — 1}{2} = \frac{10}{2} = 5\), \(x_2 = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6\).

б) Уравнение \(x^2 — 5x — 3 = 2x — 5\) приводим к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть: \(x^2 — 5x — 3 — 2x + 5 = 0\), что упрощается до \(x^2 — 7x + 2 = 0\). Коэффициенты: \(a=1\), \(b=-7\), \(c=2\). Рассчитываем дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 49 — 8 = 41\). Поскольку \(D > 0\), корни будут вещественными и различными.

Корни по формуле: \(x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2}\). Здесь знак «\(\pm\)» означает, что уравнение имеет два корня: один с плюсом, другой с минусом перед корнем. Значения корней нецелые, поэтому оставляем ответ в корневой форме.

в) Уравнение \(7x + 1 = 3x^2 — 2x + 1\) приводим к виду \(3x^2 — 2x + 1 — 7x — 1 = 0\), то есть \(3x^2 — 9x = 0\). Здесь видно, что можно вынести общий множитель \(3x\): \(3x(x — 3) = 0\). Умножение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, значит \(3x = 0\) или \(x — 3 = 0\).

Отсюда получаем корни: \(x = 0\) и \(x = 3\). Эти корни являются решениями исходного уравнения, так как удовлетворяют уравнению после подстановки.

г) Уравнение \(-2x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 5x\) приводим к стандартному виду: переносим все члены вправо, получаем \(4x^2 + 5x + 2x^2 — 5x — 6 = 0\), что упрощается до \(6x^2 — 6 = 0\). Далее переносим свободный член: \(6x^2 = 6\).

Делим обе части на 6: \(x^2 = 1\). Извлекая корень, получаем \(x = \pm 1\). Это означает, что у уравнения два корня: \(x = 1\) и \(x = -1\), оба удовлетворяют исходному уравнению.