ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 536 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\) принимают равные значения:

а) двучлены \(x^2 — 6x\) и \(5x — 18\);
б) трёхчлены \(3x^2 — 4x + 3\) и \(x^2 + x + 1\)?

\(а) \quad x^2 — 6x = 5x — 18 \Rightarrow \)
\(x^2 — 6x — 5x + 18 = 0 \Rightarrow \)
\(x^2 — 11x + 18 = 0 \Rightarrow \)
\(D = 121 — 4 \cdot 18 = 121 — 72 = 49 = 7^2 \Rightarrow \)
\(x_1 = \frac{11 — 7}{2} = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9. \)
Ответ: \(x = 2, \quad x = 9.\)

\(б) \quad 3x^2 — 4x + 3 = x^2 + x + 1 \Rightarrow \)
\(3x^2 — 4x + 3 — x^2 — x — 1 = 0 \Rightarrow \)
\(2x^2 — 5x + 2 = 0 \Rightarrow \)
\(D = 25 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9 = 3^2 \Rightarrow \)
\(x_1 = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2. \)
Ответ: \(x = 0,5, \quad x = 2.\)

а) Сначала приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения. Для этого перенесём все члены в одну сторону: \(x^2 — 6x = 5x — 18 \Rightarrow x^2 — 6x — 5x + 18 = 0\). После упрощения получается \(x^2 — 11x + 18 = 0\). Теперь у нас есть классическое квадратное уравнение с коэффициентами \(a = 1\), \(b = -11\), \(c = 18\).

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант: \(D = b^2 — 4ac\). Подставляем значения: \(D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 — 72 = 49\). Поскольку дискриминант положителен и является квадратом целого числа (\(7^2\)), уравнение имеет два действительных корня, которые найдём по формуле:
\(x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 — 7}{2} = \frac{4}{2} = 2\),
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9\).

б) Переносим все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \(3x^2 — 4x + 3 = x^2 + x + 1 \Rightarrow 3x^2 — 4x + 3 — x^2 — x — 1 = 0\). После упрощения получается \(2x^2 — 5x + 2 = 0\). Здесь коэффициенты: \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 2\).

Вычисляем дискриминант: \(D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9\). Дискриминант положителен и равен \(3^2\), значит, уравнение имеет два действительных корня. Находим корни по формуле:
\(x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5\),
\(x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\).

Таким образом, оба уравнения решены классическим способом через дискриминант, что позволяет найти все действительные корни.