Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 537 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите уравнение, используя формулу (II):
а) \(3x^2 — 14x + 16 = 0\);
б) \(5p^2 — 16p + 3 = 0\);
в) \(d^2 + 2d — 80 = 0\);
г) \(x^2 — 22x — 23 = 0\);
д) \(4t^2 — 36t + 77 = 0\);
е) \(15y^2 — 22y — 37 = 0\);
ж) \(7z^2 — 20z + 14 = 0\);
з) \(y^2 — 10y — 25 = 0\).
\( k = \frac{b}{2}, \quad D = k^2 — ac, \quad x = \frac{-k \pm \sqrt{D}}{a} \)
а) \( 3x^2 — 14x + 16 = 0 \)
\( D = 49 — 3 \cdot 16 = 49 — 48 = 1 \)
\( x_1 = \frac{7 — 1}{3} = \frac{6}{3} = 2, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{3} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)
Ответ: \( x = 2, x = 2 \frac{2}{3} \).
б) \( 5x^2 — 16x + 3 = 0 \)
\( D = 64 — 5 \cdot 3 = 64 — 15 = 49 = 7^2 \)
\( x_1 = \frac{8 — 7}{5} = \frac{1}{5} = 0,2, \quad x_2 = \frac{8 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3 \)
Ответ: \( x = 0,2; x = 3 \).
в) \( x^2 + 2x — 80 = 0 \)
\( D = 1 + 80 = 81 = 9^2 \)
\( x_1 = -1 — 9 = -10, \quad x_2 = -1 + 9 = 8 \)
Ответ: \( x = -10, x = 8 \).
г) \( x^2 — 22x — 23 = 0 \)
\( D = 121 + 23 = 144 = 12^2 \)
\( x_1 = 11 — 12 = -1, \quad x_2 = 11 + 12 = 23 \)
Ответ: \( x = -1, x = 23 \).
д) \( 4x^2 — 36x + 77 = 0 \)
\( D = 324 — 4 \cdot 77 = 324 — 308 = 16 = 4^2 \)
\( x_1 = \frac{18 — 4}{4} = \frac{14}{4} = 3,5, \quad x_2 = \frac{18 + 4}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5,5 \)
Ответ: \( x = 3,5; x = 5,5 \).
е) \( 15y^2 — 22y — 37 = 0 \)
\( D = 121 + 15 \cdot 37 = 121 + 555 = 676 = 26^2 \)
\( y_1 = \frac{11 — 26}{15} = \frac{-15}{15} = -1, \quad y_2 = \frac{11 + 26}{15} = \frac{37}{15} = 2 \frac{7}{15} \)
Ответ: \( y = -1, y = 2 \frac{7}{15} \).
ж) \( 7z^2 — 20z + 14 = 0 \)
\( D = 100 — 7 \cdot 14 = 100 — 98 = 2 = \sqrt{2}^2 \)
\( z_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{2}}{7} \)
Ответ: \( z = \frac{10 \pm \sqrt{2}}{7} \).
з) \( y^2 — 10y — 25 = 0 \)
\( D = 25 + 25 = 50 = 5 \sqrt{2} \)
\( y_{1,2} = 5 \pm 5 \sqrt{2} \)
Ответ: \( y = 5 \pm 5 \sqrt{2} \).
а) \( 3x^2 — 14x + 16 = 0 \)
Для решения квадратного уравнения сначала вычисляем дискриминант \( D \) по формуле \( D = k^2 — ac \), где \( k = \frac{b}{2} \). В данном случае \( b = -14 \), значит \( k = \frac{-14}{2} = -7 \), \( a = 3 \), \( c = 16 \). Подставляем значения:
\( D = (-7)^2 — 3 \cdot 16 = 49 — 48 = 1 \).
Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два различных корня. Корни находим по формуле \( x = \frac{-k \pm \sqrt{D}}{a} \):
\( x_1 = \frac{7 — 1}{3} = \frac{6}{3} = 2, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{3} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \).
Ответ: \( x = 2, x = 2 \frac{2}{3} \).
б) \( 5x^2 — 16x + 3 = 0 \)
Находим дискриминант: \( k = \frac{-16}{2} = -8 \), \( a = 5 \), \( c = 3 \), тогда
\( D = (-8)^2 — 5 \cdot 3 = 64 — 15 = 49 = 7^2 \).
Корни:
\( x_1 = \frac{8 — 7}{5} = \frac{1}{5} = 0,2, \quad x_2 = \frac{8 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3 \).
Два корня, один из них дробный, другой целый.
Ответ: \( x = 0,2; x = 3 \).
в) \( x^2 + 2x — 80 = 0 \)
Здесь \( k = \frac{2}{2} = 1 \), \( a = 1 \), \( c = -80 \).
Дискриминант:
\( D = 1^2 — 1 \cdot (-80) = 1 + 80 = 81 = 9^2 \).
Корни:
\( x_1 = -1 — 9 = -10, \quad x_2 = -1 + 9 = 8 \).
Корни целые и противоположны по знаку.
Ответ: \( x = -10, x = 8 \).
г) \( x^2 — 22x — 23 = 0 \)
Вычисляем \( k = \frac{-22}{2} = -11 \), \( a = 1 \), \( c = -23 \).
Дискриминант:
\( D = (-11)^2 — 1 \cdot (-23) = 121 + 23 = 144 = 12^2 \).
Корни:
\( x_1 = 11 — 12 = -1, \quad x_2 = 11 + 12 = 23 \).
Корни целые, один отрицательный, другой положительный.
Ответ: \( x = -1, x = 23 \).
д) \( 4x^2 — 36x + 77 = 0 \)
Вычисляем \( k = \frac{-36}{2} = -18 \), \( a = 4 \), \( c = 77 \).
Дискриминант:
\( D = (-18)^2 — 4 \cdot 77 = 324 — 308 = 16 = 4^2 \).
Корни:
\( x_1 = \frac{18 — 4}{4} = \frac{14}{4} = 3,5, \quad x_2 = \frac{18 + 4}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5,5 \).
Корни дробные, положительные.
Ответ: \( x = 3,5; x = 5,5 \).
е) \( 15y^2 — 22y — 37 = 0 \)
Вычисляем \( k = \frac{-22}{2} = -11 \), \( a = 15 \), \( c = -37 \).
Дискриминант:
\( D = (-11)^2 — 15 \cdot (-37) = 121 + 555 = 676 = 26^2 \).
Корни:
\( y_1 = \frac{11 — 26}{15} = \frac{-15}{15} = -1, \quad y_2 = \frac{11 + 26}{15} = \frac{37}{15} = 2 \frac{7}{15} \).
Первый корень отрицательный, второй положительный и дробный.
Ответ: \( y = -1, y = 2 \frac{7}{15} \).
ж) \( 7z^2 — 20z + 14 = 0 \)
Вычисляем \( k = \frac{-20}{2} = -10 \), \( a = 7 \), \( c = 14 \).
Дискриминант:
\( D = (-10)^2 — 7 \cdot 14 = 100 — 98 = 2 = (\sqrt{2})^2 \).
Корни:
\( z_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{2}}{7} \).
Корни иррациональные, выражены через корень.
Ответ: \( z = \frac{10 \pm \sqrt{2}}{7} \).
з) \( y^2 — 10y — 25 = 0 \)
Вычисляем \( k = \frac{-10}{2} = -5 \), \( a = 1 \), \( c = -25 \).
Дискриминант:
\( D = (-5)^2 — 1 \cdot (-25) = 25 + 25 = 50 = 5 \sqrt{2} \) (здесь \( \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} \)).
Корни:
\( y_{1,2} = 5 \pm 5 \sqrt{2} \).
Корни иррациональные, положительные и отрицательные.
Ответ: \( y = 5 \pm 5 \sqrt{2} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!