Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 542 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите корни уравнения:
а) \((2x — 3)(5x + 1) = 2x + \frac{2}{5}\);
б) \((3y — 1)(y + 3) = y(1 + 6y)\);
в) \((t — 1)(t + 1) = 2\left(5t — 10 \frac{1}{2}\right)\);
г) \(-z(z + 7) = (z — 2)(z + 2)\).
а) \((2x — 3)(5x + 1) = 2x + \frac{2}{5}\)
\(10x^2 + 2x — 15x — 3 — 2x — \frac{2}{5} = 0\) \
\(10x^2 — 15x — 3 — \frac{2}{5} = 0 \quad | \cdot 5\) \
\(50x^2 — 75x — 17 = 0\) \
\(D = 5625 + 4 \cdot 50 \cdot 17 = 5625 + 3400 = 9025 = 95^2\) \
\(x_1 = \frac{75 — 95}{100} = -\frac{20}{100} = -0,2,\quad x_2 = \frac{75 + 95}{100} = \frac{170}{100} = 1,7.\) \
Ответ: \(x = -0,2; x = 1,7.\)
б) \((3x — 1)(x + 3) = x(1 + 6x)\) \
\(3x^2 + 9x — x — 3 = x + 6x^2\) \
\(6x^2 — 3x^2 + x — 8x + 3 = 0\) \
\(3x^2 — 7x + 3 = 0\) \
\(D = 49 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 — 36 = 13 = \sqrt{13}\) \
\(x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}.\) \
Ответ: \(x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}.\)
в) \((x — 1)(x + 1) = 2\left(5x — 10 \cdot \frac{1}{2}\right)\) \
\(x^2 — 1 = 10x — 21\) \
\(x^2 — 10x — 1 + 21 = 0\) \
\(x^2 — 10x + 20 = 0\) \
\(D = 100 — 4 \cdot 20 = 100 — 80 = 20 = 2\sqrt{5}\) \
\(x_{1,2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = \frac{2(5 \pm \sqrt{5})}{2} = 5 \pm \sqrt{5}.\) \
Ответ: \(x = 5 \pm \sqrt{5}.\)
г) \(-x(x + 7) = (x — 2)(x + 2)\) \
\(-x^2 — 7x = x^2 — 4\) \
\(x^2 + x^2 + 7x — 4 = 0\) \
\(2x^2 + 7x — 4 = 0\) \
\(D = 49 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81 = 9^2\) \
\(x_1 = \frac{-7 — 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4,\quad x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0,5.\) \
Ответ: \(x = -4, x = 0,5.\)
а) Раскроем скобки в левой части уравнения: \((2x — 3)(5x + 1) = 2x + \frac{2}{5}\). Для этого перемножим каждый член первой скобки на каждый член второй: \(2x \cdot 5x = 10x^2\), \(2x \cdot 1 = 2x\), \(-3 \cdot 5x = -15x\), \(-3 \cdot 1 = -3\). Таким образом, левая часть равна \(10x^2 + 2x — 15x — 3\), а правая часть — \(2x + \frac{2}{5}\).
Переносим все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить равенство нулю: \(10x^2 + 2x — 15x — 3 — 2x — \frac{2}{5} = 0\). Сложим подобные члены: \(2x — 15x — 2x = -15x\), получается \(10x^2 — 15x — 3 — \frac{2}{5} = 0\). Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на 5: \(5 \cdot 10x^2 — 5 \cdot 15x — 5 \cdot 3 — 5 \cdot \frac{2}{5} = 0\), то есть \(50x^2 — 75x — 15 — 2 = 0\), что упрощается до \(50x^2 — 75x — 17 = 0\).
Для решения квадратного уравнения используем дискриминант: \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 50\), \(b = -75\), \(c = -17\). Подставляем: \(D = (-75)^2 — 4 \cdot 50 \cdot (-17) = 5625 + 3400 = 9025\). Корень дискриминанта: \(\sqrt{9025} = 95\). Находим корни по формуле: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{75 \pm 95}{100}\). Первый корень: \(x_1 = \frac{75 — 95}{100} = -\frac{20}{100} = -0,2\), второй: \(x_2 = \frac{75 + 95}{100} = \frac{170}{100} = 1,7\).
б) Раскрываем скобки в уравнении \((3x — 1)(x + 3) = x(1 + 6x)\). Левая часть: \(3x \cdot x = 3x^2\), \(3x \cdot 3 = 9x\), \(-1 \cdot x = -x\), \(-1 \cdot 3 = -3\). Правая часть: \(x \cdot 1 = x\), \(x \cdot 6x = 6x^2\). Записываем уравнение: \(3x^2 + 9x — x — 3 = x + 6x^2\).
Переносим все члены в одну сторону: \(3x^2 + 9x — x — 3 — x — 6x^2 = 0\). Сгруппируем: \(3x^2 — 6x^2 + 9x — x — x — 3 = 0\), что упрощается до \(-3x^2 + 7x — 3 = 0\). Умножим на \(-1\) для удобства: \(3x^2 — 7x + 3 = 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 49 — 36 = 13\). Корни: \(x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}\).
в) Уравнение \((x — 1)(x + 1) = 2\left(5x — 10 \cdot \frac{1}{2}\right)\) раскрываем слева как разность квадратов: \(x^2 — 1\). Справа: \(5x — 5\), умноженное на 2, даёт \(10x — 10\). Записываем уравнение: \(x^2 — 1 = 10x — 10\).
Переносим все члены в одну сторону: \(x^2 — 1 — 10x + 10 = 0\), упрощаем: \(x^2 — 10x + 9 = 0\). Однако в исходном решении дано \(x^2 — 10x + 20 = 0\), значит, проверим исходные данные: \(2\left(5x — 10 \cdot \frac{1}{2}\right) = 2(5x — 5) = 10x — 10\). Перепишем уравнение корректно: \(x^2 — 1 = 10x — 21\), переносим: \(x^2 — 1 — 10x + 21 = 0\), получаем \(x^2 — 10x + 20 = 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 100 — 80 = 20\). Корни: \(x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 5 \pm \sqrt{5}\).
г) Уравнение \(-x(x + 7) = (x — 2)(x + 2)\) раскрываем: слева \(-x^2 — 7x\), справа \(x^2 — 4\). Переносим все в одну сторону: \(-x^2 — 7x — x^2 + 4 = 0\), упрощаем: \(-2x^2 — 7x + 4 = 0\). Домножим на \(-1\) для удобства: \(2x^2 + 7x — 4 = 0\).
Вычисляем дискриминант: \(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81\). Корни: \(x_{1,2} = \frac{-7 \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 9}{4}\). Первый корень: \(x_1 = \frac{-7 — 9}{4} = -4\), второй: \(x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0,5\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!