Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 543 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) \((x + 4)^{2} = 3x + 40\);
б) \((2p — 3)^{2} = 11p — 19\);
в) \(3(x + 4)^{2} = 10x + 32\);
г) \(15y^{2} + 17 = 15(y + 1)^{2}\);
д) \((x + 1)^{2} = 7918 — 2x\);
е) \((m + 2)^{2} = 3131 — 2m\);
ж) \((x + 1)^{2} = (2x — 1)^{2}\);
з) \((n — 2)^{2} + 48 = (2 — 3n)^{2}\).
а) \((x + 4)^2 = 3x + 40\)
\(x^2 + 8x + 16 — 3x — 40 = 0\)
\(x^2 + 5x — 24 = 0\)
\(D = 25 + 4 \cdot 24 = 25 + 96 = 121 = 11^2\)
\(x_1 = \frac{-5 — 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8,\quad x_2 = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3.\)
Ответ: \(x = -8, x = 3.\)
б) \((2x — 3)^2 = 11x — 19\)
\(4x^2 — 12x + 9 — 11x + 19 = 0\)
\(4x^2 — 23x + 28 = 0\)
\(D = 529 — 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 — 448 = 81 = 9^2\)
\(x_1 = \frac{23 — 9}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4},\quad x_2 = \frac{23 + 9}{8} = \frac{32}{8} = 4.\)
Ответ: \(x = 1 \frac{3}{4}, x = 4.\)
в) \(3(x + 4)^2 = 10x + 32\)
\(3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32\)
\(3x^2 + 24x + 48 — 10x — 32 = 0\)
\(3x^2 + 14x + 16 = 0\)
\(D = 196 — 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 — 192 = 4 = 2^2\)
\(x_1 = \frac{-14 — 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} = -2 \frac{2}{3},\quad x_2 = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2.\)
Ответ: \(x = -2 \frac{2}{3}, x = -2.\)
г) \(15x^2 + 17 = 15(x + 1)^2\)
\(15x^2 + 17 = 15(x^2 + 2x + 1)\)
\(15x^2 + 17 — 15x^2 — 30x — 15 = 0\)
\(-30x + 2 = 0\)
\(30x = 2\)
\(x = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}.\)
Ответ: \(x = \frac{1}{15}.\)
д) \((x + 1)^2 = 7918 — 2x\)
\(x^2 + 2x + 1 + 2x — 7918 = 0\)
\(x^2 + 4x — 7917 = 0\)
\(D = 16 + 4 \cdot 7917 = 16 + 31668 = 31684 = 178^2\)
\(x_1 = \frac{-4 — 178}{2} = \frac{-182}{2} = -91,\quad x_2 = \frac{-4 + 178}{2} = \frac{174}{2} = 87.\)
Ответ: \(x = -91, x = 87.\)
е) \((x + 2)^2 = 3131 — 2x\)
\(x^2 + 4x + 4 + 2x — 3131 = 0\)
\(x^2 + 6x — 3127 = 0\)
\(D = 36 + 4 \cdot 3127 = 36 + 12508 = 12544 = 112^2\)
\(x_1 = \frac{-6 — 112}{2} = \frac{-118}{2} = -59,\quad x_2 = \frac{-6 + 112}{2} = \frac{106}{2} = 53.\)
Ответ: \(x = -59, x = 53.\)
ж) \((x + 1)^2 = (2x — 1)^2\)
\(x^2 + 2x + 1 = 4x^2 — 4x + 1\)
\(4x^2 — 4x + 1 — x^2 — 2x — 1 = 0\)
\(3x^2 — 6x = 0\)
\(3x(x — 2) = 0\)
\(x = 0, x = 2.\)
Ответ: \(x = 0, x = 2.\)
з) \((x — 2)^2 + 48 = (2 — 3x)^2\)
\(x^2 — 4x + 4 + 48 = 4 — 12x + 9x^2\)
\(9x^2 — 12x + 4 — x^2 + 4x — 52 = 0\)
\(8x^2 — 8x — 48 = 0 \quad | : 8\)
\(x^2 — x — 6 = 0\)
\(D = 1 + 24 = 25 = 5^2\)
\(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3.\)
Ответ: \(x = -2, x = 3.\)
а) \( (x + 4)^2 = 3x + 40 \)
Раскрываем квадрат слева: \( (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \). Приравниваем к правой части: \( x^2 + 8x + 16 = 3x + 40 \). Переносим все в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 + 8x + 16 — 3x — 40 = 0 \), что упрощается до \( x^2 + 5x — 24 = 0 \).
Для решения используем дискриминант \( D = b^2 — 4ac \), где \( a=1, b=5, c=-24 \). Получаем \( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \). Корень дискриминанта \( \sqrt{121} = 11 \). Находим корни по формуле: \( x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 — 11}{2} = -8 \), \( x_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3 \).
Таким образом, уравнение имеет два решения: \( x = -8 \) и \( x = 3 \).
б) \( (2x — 3)^2 = 11x — 19 \)
Раскрываем квадрат: \( (2x — 3)^2 = 4x^2 — 12x + 9 \). Приравниваем к правой части: \( 4x^2 — 12x + 9 = 11x — 19 \). Переносим все в левую часть: \( 4x^2 — 12x + 9 — 11x + 19 = 0 \), упрощая получаем \( 4x^2 — 23x + 28 = 0 \).
Рассчитываем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a=4, b=-23, c=28 \): \( D = (-23)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 28 = 529 — 448 = 81 \). Корень дискриминанта \( \sqrt{81} = 9 \). Находим корни: \( x_1 = \frac{23 — 9}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4} \), \( x_2 = \frac{23 + 9}{8} = \frac{32}{8} = 4 \).
Ответ: \( x = 1 \frac{3}{4} \) и \( x = 4 \).
в) \( 3(x + 4)^2 = 10x + 32 \)
Раскрываем квадрат: \( (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \), умножаем на 3: \( 3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32 \). Переносим все в левую часть: \( 3x^2 + 24x + 48 — 10x — 32 = 0 \), упрощаем: \( 3x^2 + 14x + 16 = 0 \).
Вычисляем дискриминант: \( D = 14^2 — 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 — 192 = 4 \). Корень дискриминанта \( \sqrt{4} = 2 \). Корни: \( x_1 = \frac{-14 — 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} = -2 \frac{2}{3} \), \( x_2 = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \).
Решения: \( x = -2 \frac{2}{3} \) и \( x = -2 \).
г) \( 15x^2 + 17 = 15(x + 1)^2 \)
Раскрываем квадрат справа: \( (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \), умножаем на 15: \( 15x^2 + 30x + 15 \). Записываем уравнение: \( 15x^2 + 17 = 15x^2 + 30x + 15 \). Переносим все в левую часть: \( 15x^2 + 17 — 15x^2 — 30x — 15 = 0 \), упрощаем: \( -30x + 2 = 0 \).
Решаем линейное уравнение: \( -30x + 2 = 0 \Rightarrow 30x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \).
Ответ: \( x = \frac{1}{15} \).
д) \( (x + 1)^2 = 7918 — 2x \)
Раскрываем квадрат слева: \( x^2 + 2x + 1 = 7918 — 2x \). Переносим все в левую часть: \( x^2 + 2x + 1 + 2x — 7918 = 0 \), упрощаем: \( x^2 + 4x — 7917 = 0 \).
Вычисляем дискриминант: \( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7917) = 16 + 31668 = 31684 \). Корень: \( \sqrt{31684} = 178 \). Находим корни: \( x_1 = \frac{-4 — 178}{2} = \frac{-182}{2} = -91 \), \( x_2 = \frac{-4 + 178}{2} = \frac{174}{2} = 87 \).
Корни уравнения: \( x = -91 \) и \( x = 87 \).
е) \( (x + 2)^2 = 3131 — 2x \)
Раскрываем квадрат: \( x^2 + 4x + 4 = 3131 — 2x \). Переносим все в левую часть: \( x^2 + 4x + 4 + 2x — 3131 = 0 \), упрощаем: \( x^2 + 6x — 3127 = 0 \).
Дискриминант: \( D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3127) = 36 + 12508 = 12544 \). Корень: \( \sqrt{12544} = 112 \). Корни: \( x_1 = \frac{-6 — 112}{2} = \frac{-118}{2} = -59 \), \( x_2 = \frac{-6 + 112}{2} = \frac{106}{2} = 53 \).
Ответ: \( x = -59 \) и \( x = 53 \).
ж) \( (x + 1)^2 = (2x — 1)^2 \)
Раскрываем квадраты: \( x^2 + 2x + 1 = 4x^2 — 4x + 1 \). Переносим все в левую часть: \( x^2 + 2x + 1 — 4x^2 + 4x — 1 = 0 \), упрощаем: \( -3x^2 + 6x = 0 \), или \( 3x^2 — 6x = 0 \).
Выносим общий множитель: \( 3x(x — 2) = 0 \), отсюда \( x = 0 \) или \( x = 2 \).
Корни: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
з) \( (x — 2)^2 + 48 = (2 — 3x)^2 \)
Раскрываем квадраты: \( x^2 — 4x + 4 + 48 = 4 — 12x + 9x^2 \). Переносим все в левую часть: \( x^2 — 4x + 52 — 4 + 12x — 9x^2 = 0 \), упрощаем: \( -8x^2 + 8x + 48 = 0 \).
Делим на \(-8\): \( x^2 — x — 6 = 0 \). Вычисляем дискриминант: \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \). Корень: \( \sqrt{25} = 5 \). Корни: \( x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \).
Решения: \( x = -2 \) и \( x = 3 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!