ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 546 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Решите графически уравнение:
а) \(x^{2} — 2x — 1 = 0\);
б) \(x^{2} — 4x + 2 = 0\).
1) Обсудите друг с другом, в каком виде удобно представить уравнение.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Найдите корни каждого из уравнений с помощью формулы корней квадратного уравнения и сравните их со значениями, найденными при графическом решении.

а) \(x^2 — 2x — 1 = 0\)
\(x^2 = 2x + 1\)
\(y = x^2, \quad y = 2x + 1\)

Графически: \(x = -0{,}5; \quad x = 2{,}3\).

\(x^2 — 2x — 1 = 0\)
\(D = 4 + 4 = 8 = 2\sqrt{2}\)
\(x_1 = \frac{2 — 2\sqrt{2}}{2} = 1 — \sqrt{2} = 1 — 1{,}41 = -0{,}4,\)
\(x_2 = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} = 1 + 1{,}41 = 2{,}4.\)
Ответ: \(x = -0{,}4; \quad x = 2{,}4.\)

б) \(x^2 — 4x + 2 = 0\)
\(x^2 = 4x — 2\)
\(y = x^2, \quad y = 4x — 2\)

Графически: \(x = 0{,}5; \quad x = 3{,}3.\)

\(x^2 — 4x + 2 = 0\)
\(D = 16 — 4 \cdot 2 = 8 = 2\sqrt{2}\)
\(x_1 = \frac{4 — 2\sqrt{2}}{2} = 2 — \sqrt{2} = 2 — 1{,}41 = 0{,}6,\)
\(x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2} = 2 + 1{,}41 = 3{,}4.\)
Ответ: \(x = 0{,}6; \quad x = 3{,}4.\)

а) Рассмотрим уравнение \(x^2 — 2x — 1 = 0\). Это квадратное уравнение, где коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -1\). Чтобы найти корни, используем дискриминант \(D = b^2 — 4ac\). Подставляем значения: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8\). Корень дискриминанта положительный, значит уравнение имеет два различных вещественных корня. Вычислим корни по формуле:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\).

Подставляя численные значения, получаем:
\(x_1 = 1 — \sqrt{2} = 1 — 1{,}41 = -0{,}4\),
\(x_2 = 1 + \sqrt{2} = 1 + 1{,}41 = 2{,}4\).

Для наглядности построим графики функций \(y = x^2\) и \(y = 2x + 1\). Точки пересечения графиков соответствуют решениям уравнения \(x^2 = 2x + 1\). На графике видно, что пересечения происходят приблизительно при \(x = -0{,}5\) и \(x = 2{,}3\), что близко к вычисленным точным значениям. Таким образом, корни уравнения: \(x = -0{,}4\) и \(x = 2{,}4\).

б) Рассмотрим уравнение \(x^2 — 4x + 2 = 0\), где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 2\). Сначала находим дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 — 8 = 8\).
Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два вещественных корня. Корни находятся по формуле:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}\).

Подставим численные значения:
\(x_1 = 2 — \sqrt{2} = 2 — 1{,}41 = 0{,}6\),
\(x_2 = 2 + \sqrt{2} = 2 + 1{,}41 = 3{,}4\).

Для проверки построим графики функций \(y = x^2\) и \(y = 4x — 2\). Точки пересечения графиков дают решения уравнения \(x^2 = 4x — 2\). На графике видно, что пересечения находятся около \(x = 0{,}5\) и \(x = 3{,}3\), что согласуется с вычисленными корнями. Таким образом, корни уравнения: \(x = 0{,}6\) и \(x = 3{,}4\).