ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 547 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение \(x^{2} = 0,5x + 3\) сначала графически, а затем с помощью формулы корней.

\( x^2 = 0,5x + 3 \)
\( y = x^2, \quad y = 0,5x + 3 \)

Решаем систему:
\( x^2 = 0,5x + 3 \Rightarrow x^2 — 0,5x — 3 = 0 \)

Дискриминант:
\( D = (-0,5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 0,25 + 12 = 12,25 \)

Корни:
\( x_{1,2} = \frac{0,5 \pm \sqrt{12,25}}{2} = \frac{0,5 \pm 3,5}{2} \)

\( x_1 = \frac{0,5 — 3,5}{2} = \frac{-3}{2} = -1,5 \)
\( x_2 = \frac{0,5 + 3,5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Ответ: \( x = -1,5; \quad x = 2. \)

\( x^2 = 0,5x + 3 \)
\( y = x^2, \quad y = 0,5x + 3 \)

Рассмотрим уравнение \( x^2 = 0,5x + 3 \). Это уравнение задаёт точки пересечения параболы \( y = x^2 \) и прямой \( y = 0,5x + 3 \). Чтобы найти эти точки, приравниваем правые части и получаем квадратное уравнение:
\( x^2 — 0,5x — 3 = 0 \).

Для решения квадратного уравнения используем формулу корней через дискриминант. Сначала найдём дискриминант \( D \):
\( D = b^2 — 4ac = (-0,5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 0,25 + 12 = 12,25 \).
Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два действительных корня.

Вычислим корни по формуле:
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{0,5 \pm \sqrt{12,25}}{2} \).
Корень из 12,25 равен 3,5, поэтому:
\( x_1 = \frac{0,5 — 3,5}{2} = \frac{-3}{2} = -1,5 \),
\( x_2 = \frac{0,5 + 3,5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

Таким образом, уравнение имеет два решения: \( x = -1,5 \) и \( x = 2 \). Эти значения \( x \) соответствуют точкам пересечения графиков функции \( y = x^2 \) и прямой \( y = 0,5x + 3 \).