ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 550 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\) верно равенство:

а) \(\frac{1}{7} x^{2} = 2x — 7;\)
б) \(x^{2} + \frac{6}{5} = 2,6x;\)
в) \(4x^{2} = 7x + 7,5;\)
г) \(6x^{2} — 2 = x?\)

а) \( \frac{1}{7}x^2 = 2x — 7 \quad | \cdot 7 \)
\( x^2 — 14x + 49 = 0 \) \( \Rightarrow (x — 7)^2 = 0 \) \( \Rightarrow x — 7 = 0 \) \( \Rightarrow x = 7. \)
Ответ: при \( x = 7. \)

б) \( x^2 + \frac{6}{5} = 2,6x \quad | \cdot 5 \)
\( 5x^2 — 13x + 6 = 0. \)
\( D = 169 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 — 120 = 49 = 7^2. \)
\( x_1 = \frac{13 — 7}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0,6; \quad x_2 = \frac{13 + 7}{10} = \frac{20}{10} = 2. \)
Ответ: при \( x = 0,6 \) и при \( x = 2. \)

в) \( 4x^2 = 7x + 7,5 \quad | \cdot 2 \)
\( 8x^2 — 14x — 15 = 0. \)
\( D = 196 + 4 \cdot 8 \cdot 15 = 196 + 480 = 676 = 26^2. \)
\( x_1 = \frac{14 — 26}{16} = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4} = -0,75; \quad x_2 = \frac{14 + 26}{16} = \frac{40}{16} = 2,5. \)
Ответ: при \( x = -0,75 \) и при \( x = 2,5. \)

г) \( 6x^2 — 2 = x \)
\( 6x^2 — x — 2 = 0. \)
\( D = 1 + 4 \cdot 6 \cdot 2 = 1 + 48 = 49 = 7^2. \)
\( x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}; \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}. \)
Ответ: при \( x = -\frac{1}{2} \) и при \( x = \frac{2}{3}. \)

а) \( \frac{1}{7}x^2 = 2x — 7 \quad | \cdot 7 \)
Умножаем обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби. Получаем \( x^2 = 14x — 49 \). Переносим все члены в левую часть: \( x^2 — 14x + 49 = 0 \). Это квадратное уравнение, в котором можно заметить, что левая часть является полным квадратом: \( (x — 7)^2 = 0 \).

Равенство \( (x — 7)^2 = 0 \) означает, что \( x — 7 = 0 \), откуда \( x = 7 \). Таким образом, уравнение имеет один корень кратности два, и он равен 7. Значит, ответ: при \( x = 7 \).

б) \( x^2 + \frac{6}{5} = 2,6x \quad | \cdot 5 \)
Чтобы избавиться от дроби, умножаем обе части на 5: \( 5x^2 + 6 = 13x \). Переносим все члены в левую часть: \( 5x^2 — 13x + 6 = 0 \). Это стандартное квадратное уравнение, для решения которого вычислим дискриминант:
\( D = (-13)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 — 120 = 49 \). Поскольку \( D = 7^2 \), корни будут рациональными и найдутся по формуле:
\( x_1 = \frac{13 — 7}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0,6 \), \( x_2 = \frac{13 + 7}{10} = \frac{20}{10} = 2 \).

Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x = 0,6 \) и \( x = 2 \).

в) \( 4x^2 = 7x + 7,5 \quad | \cdot 2 \)
Умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: \( 8x^2 = 14x + 15 \). Переносим все члены в левую часть: \( 8x^2 — 14x — 15 = 0 \). Вычисляем дискриминант:
\( D = (-14)^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 196 + 480 = 676 \). Корень из дискриминанта \( \sqrt{676} = 26 \).

Находим корни по формуле:
\( x_1 = \frac{14 — 26}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4} = -0,75 \),
\( x_2 = \frac{14 + 26}{16} = \frac{40}{16} = 2,5 \).
Значит, уравнение имеет два корня: \( x = -0,75 \) и \( x = 2,5 \).

г) \( 6x^2 — 2 = x \)
Переносим все члены в левую часть: \( 6x^2 — x — 2 = 0 \). Для решения вычислим дискриминант:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49 \). Корень из дискриминанта \( \sqrt{49} = 7 \).

Находим корни по формуле:
\( x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \),
\( x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \).
Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x = -\frac{1}{2} \) и \( x = \frac{2}{3} \).