ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 552 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Задача-исследование.) Решите уравнения:

а) \(x^{2} — 5x + 6 = 0\) и \(6x^{2} — 5x + 1 = 0;\)
б) \(2x^{2} — 13x + 6 = 0\) и \(6x^{2} — 13x + 2 = 0.\)

1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б).
2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений \(ax^{2} + bx + c = 0\) и \(cx^{2} + bx + a = 0.\)
3) Докажите, что ваше предположение верно.

\( \text{а) } x^2 — 5x + 6 = 0 \) \( D = 25 — 4 \cdot 6 = 1 \) \( x_1 = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2, \) \( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3. \)
\( 6x^2 — 5x + 1 = 0 \) \( D = 25 — 4 \cdot 6 = 1 \) \( x_1 = \frac{5 — 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}, \) \( x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}. \)

\( \text{б) } 2x^2 — 13x + 6 = 0 \) \( D = 169 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 121 = 11^2 \) \( x_1 = \frac{13 — 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \) \( x_2 = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6. \)
\( 6x^2 — 13x + 2 = 0 \) \( D = 169 — 4 \cdot 6 \cdot 2 = 121 = 11^2 \) \( x_1 = \frac{13 — 11}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}, \) \( x_2 = \frac{13 + 11}{12} = \frac{24}{12} = 2. \)

Результаты двух сравниваемых уравнений являются обратными числами.

\( ax^2 + bx + c = 0 \quad D = b^2 — 4ac \)
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a} \)

\( cx^2 + bx + a = 0 \quad D = b^2 — 4ac \)
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2c} \)

а) Решаем квадратное уравнение \( x^2 — 5x + 6 = 0 \). Для этого сначала вычисляем дискриминант по формуле \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \). Подставляем значения: \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \). Поскольку \( D > 0 \), уравнение имеет два различных корня.

Далее находим корни по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Подставляем: \( x_1 = \frac{5 — 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). Таким образом, корни уравнения равны 2 и 3. Аналогично решаем уравнение \( 6x^2 — 5x + 1 = 0 \), где \( a = 6 \), \( b = -5 \), \( c = 1 \). Дискриминант тот же: \( D = 25 — 24 = 1 \).

Находим корни: \( x_1 = \frac{5 — 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \), \( x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \). Обратите внимание, что корни второго уравнения являются обратными значениями корней первого: \( \frac{1}{2} \) и \( \frac{1}{3} \) — обратные 2 и 3 соответственно.

б) Рассмотрим уравнение \( 2x^2 — 13x + 6 = 0 \). Считаем дискриминант: \( D = (-13)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 — 48 = 121 = 11^2 \). Поскольку дискриминант — полный квадрат, корни будут рациональными и легко вычисляемыми. По формуле находим: \( x_1 = \frac{13 — 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \), \( x_2 = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6 \).

Для уравнения \( 6x^2 — 13x + 2 = 0 \) считаем дискриминант: \( D = (-13)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 — 48 = 121 = 11^2 \). Корни: \( x_1 = \frac{13 — 11}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \), \( x_2 = \frac{13 + 11}{12} = \frac{24}{12} = 2 \). Корни второго уравнения — обратные корням первого: \( \frac{1}{6} \) и 2 — обратные \( \frac{1}{2} \) и 6.

Результаты показывают, что уравнения с коэффициентами \( ax^2 + bx + c = 0 \) и \( cx^2 + bx + a = 0 \) имеют корни, которые являются взаимно обратными числами.

Обобщая, для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле \( D = b^2 — 4ac \), а корни находятся по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \). Если рассмотреть уравнение, где коэффициенты \( a \) и \( c \) поменяны местами, то есть \( cx^2 + bx + a = 0 \), дискриминант будет тем же \( D = b^2 — 4ac \), но корни будут вычисляться по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2c} \).

Таким образом, меняя местами коэффициенты при \( x^2 \) и свободный член, мы получаем уравнение с корнями, обратными корням исходного уравнения, что подтверждается на примерах. Это свойство полезно для быстрого нахождения взаимно обратных решений без повторного вычисления дискриминанта.