ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 555 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \((\sqrt{21} + \sqrt{14} — 2\sqrt{35}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20}\);
б) \((\sqrt{5} + \sqrt{3} — \sqrt{15})(\sqrt{5} — \sqrt{3}) + \sqrt{75}\).

\(a) \left(\sqrt{21} + \sqrt{14} — 2\sqrt{35}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20} = \)
\(= \left(\sqrt{7}\sqrt{3} + \sqrt{7}\sqrt{2} — 2\sqrt{5}\sqrt{7}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20} = \)
\(= \left(\sqrt{7}\left(\sqrt{3} + \sqrt{2} — 2\sqrt{5}\right)\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20} = \)
\(= \frac{\sqrt{7}\sqrt{7}}{7}\left(\sqrt{3} + \sqrt{2} — 2\sqrt{5}\right) + 2\sqrt{5} = \sqrt{3} + \sqrt{2} — 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = \)
\(= \sqrt{3} + \sqrt{2}.\)

\(б) \left(\sqrt{5} + \sqrt{3} — \sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5} — \sqrt{3}\right) + \sqrt{75} = \)
\(= 5 — \sqrt{5}\sqrt{3} + \sqrt{5}\sqrt{3} — 3 — \sqrt{5}\sqrt{3}\sqrt{5} + \sqrt{5}\sqrt{3}\sqrt{3} + \sqrt{75} = \)
\(= 5 — 3 — 5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} + 5\sqrt{3} = 2 + 3\sqrt{5}.\)

а) Рассмотрим выражение \( \left(\sqrt{21} + \sqrt{14} — 2\sqrt{35}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20} \). Сначала упростим подкоренные выражения, раскладывая числа под корнями на множители так, чтобы выделить общий множитель. Заметим, что \(21 = 7 \cdot 3\), \(14 = 7 \cdot 2\), \(35 = 7 \cdot 5\), поэтому можно представить корни как \( \sqrt{7 \cdot 3} = \sqrt{7}\sqrt{3} \), \( \sqrt{7 \cdot 2} = \sqrt{7}\sqrt{2} \), \( \sqrt{7 \cdot 5} = \sqrt{7}\sqrt{5} \). Подставляя, получаем \( \left(\sqrt{7}\sqrt{3} + \sqrt{7}\sqrt{2} — 2\sqrt{7}\sqrt{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} + \sqrt{20} \).

Далее вынесем общий множитель \(\sqrt{7}\) за скобки: \( \sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{2} — 2\sqrt{5}) \). Умножая на \(\frac{\sqrt{7}}{7}\), получаем \( \sqrt{7}(\sqrt{3} + \sqrt{2} — 2\sqrt{5}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{7} (\sqrt{3} + \sqrt{2} — 2\sqrt{5}) =\) \(= \frac{7}{7} (\sqrt{3} + \sqrt{2} — 2\sqrt{5}) = \sqrt{3} + \sqrt{2} — 2\sqrt{5} \). Теперь добавим \(\sqrt{20}\). Поскольку \(20 = 4 \cdot 5\), то \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).

Подставим в выражение: \( \sqrt{3} + \sqrt{2} — 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \). Отрицательные и положительные слагаемые \( -2\sqrt{5} \) и \( + 2\sqrt{5} \) взаимно уничтожаются, остается \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \).

б) Рассмотрим выражение \( \left(\sqrt{5} + \sqrt{3} — \sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5} — \sqrt{3}\right) + \sqrt{75} \). Раскроем скобки, используя распределительный закон умножения:
\( \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} — \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} — \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} — \sqrt{15} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{15} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{75} \).

Выполним умножение корней: \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5 \), \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{15} \), \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15} \), \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \), \( \sqrt{15} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{75} \), \( \sqrt{15} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{45} \). Подставляем:
\( 5 — \sqrt{15} + \sqrt{15} — 3 — \sqrt{75} + \sqrt{45} + \sqrt{75} \).

Сократим противоположные по знаку слагаемые \( -\sqrt{15} + \sqrt{15} = 0 \) и \( -\sqrt{75} + \sqrt{75} = 0 \). Остается \( 5 — 3 + \sqrt{45} \).

Упростим \(\sqrt{45}\). Поскольку \(45 = 9 \cdot 5\), то \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\). Подставим: \( 5 — 3 + 3\sqrt{5} = 2 + 3\sqrt{5} \). Таким образом, исходное выражение упрощается до \( 2 + 3\sqrt{5} \).