ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 558 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см\(^{2}\).

Пусть \( x \) см ширина прямоугольника, тогда \( x + 4 \) см длина прямоугольника.
Составим уравнение:
\( x(x+4) = 60 \)
\( x^2 + 4x — 60 = 0 \)
\( D = 16 + 4 \cdot 60 = 16 + 240 = 256 = 16^2 \)
\( x_1 = \frac{-4 — 16}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \) – не подходит;
\( x_2 = \frac{-4 + 16}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) (см) – ширина прямоугольника.
\( x + 4 = 6 + 4 = 10 \) (см) – длина прямоугольника.
Найдём периметр:
\( 2 \cdot (6 + 10) = 2 \cdot 16 = 32 \) (см).
Ответ: 32 см.

Пусть \( x \) см ширина прямоугольника, тогда длина прямоугольника будет равна \( x + 4 \) см, так как длина на 4 см больше ширины. Это условие позволяет выразить одну сторону через другую, что необходимо для составления уравнения по площади.

Составим уравнение по формуле площади прямоугольника, которая равна произведению длины на ширину. Площадь задана равной 60 см², значит:
\( x(x + 4) = 60 \)
Раскроем скобки:
\( x^2 + 4x = 60 \)
Перенесём 60 в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде:
\( x^2 + 4x — 60 = 0 \)
Это уравнение необходимо решить, чтобы найти значение ширины \( x \).

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант \( D \), который вычисляется по формуле:
\( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -60 \).
Подставим значения:
\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256 \)
Так как дискриминант положителен и равен \( 16^2 \), уравнение имеет два действительных корня.

Найдём корни уравнения по формуле:
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
Подставим значения:
\( x_1 = \frac{-4 — 16}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \),
\( x_2 = \frac{-4 + 16}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).
Отрицательный корень \( x_1 = -10 \) не подходит, так как ширина не может быть отрицательной. Значит, ширина прямоугольника равна \( 6 \) см.

Теперь найдём длину прямоугольника, прибавив 4 см к ширине:
\( x + 4 = 6 + 4 = 10 \) см.
Таким образом, длина равна 10 см.

Для нахождения периметра прямоугольника используем формулу:
\( P = 2 \cdot (ширина + длина) \).
Подставим найденные значения:
\( P = 2 \cdot (6 + 10) = 2 \cdot 16 = 32 \) см.
Это и есть искомый периметр прямоугольника.