ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 560 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м².

Пусть одна сторона равна \( x \) м, тогда вторая сторона равна
\( 62 : 2 — x = 31 — x \) м.
Составим уравнение:
\( x(31 — x) = 210 \)
\( 31x — x^2 — 210 = 0 \)
\( | \cdot (-1) \)
\( x^2 — 31x + 210 = 0 \)
\( D = 961 — 4 \cdot 210 = 961 — 840 = 121 = 11^2 \)
\( x_1 = \frac{31 — 11}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) (м),
\( x_2 = \frac{31 + 11}{2} = \frac{42}{2} = 21 \) (м).
\( 31 — x = 31 — 10 = 21 \) (м).
\( 31 — x = 31 — 21 = 10 \) (м).
Ответ: 10 м и 21 м или 21 м и 10 м.

Пусть одна сторона равна \( x \) м, тогда вторая сторона равна
\( 62 : 2 — x = 31 — x \) м.
Мы обозначили одну сторону прямоугольника через \( x \), а вторую — через выражение \( 31 — x \), так как сумма половин сторон равна 31, а из условия известно, что разница между половиной длины одной стороны и другой равна \( x \). Это позволяет нам выразить обе стороны через одну переменную для удобства решения.

Составим уравнение:
\( x(31 — x) = 210 \)
Это уравнение отражает, что произведение двух сторон прямоугольника равно 210 (площадь). Мы умножаем длину одной стороны на длину второй, выраженной через \( x \), чтобы получить площадь, которая задана числом 210. Это классический способ составления уравнения по условию задачи.

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду:
\( 31x — x^2 = 210 \)
\( 31x — x^2 — 210 = 0 \)
\( | \cdot (-1) \)
\( x^2 — 31x + 210 = 0 \)
Умножение на \(-1\) сделано для удобства решения квадратного уравнения, чтобы коэффициент при \( x^2 \) был положительным. Теперь уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = -31 \), \( c = 210 \).

Вычислим дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = (-31)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 210 = 961 — 840 = 121 = 11^2 \)
Дискриминант показывает, сколько корней будет у уравнения. Поскольку \( D > 0 \), уравнение имеет два различных вещественных корня. Корень дискриминанта взят как \( 11^2 \), что облегчает вычисление корней.

Найдём корни уравнения по формуле:
\( x_1 = \frac{31 — 11}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) (м),
\( x_2 = \frac{31 + 11}{2} = \frac{42}{2} = 21 \) (м).
Это стандартное решение квадратного уравнения с помощью формулы корней. Получены два значения \( x \), каждое из которых может быть длиной одной из сторон.

Подставим найденные значения обратно во вторую сторону:
\( 31 — x_1 = 31 — 10 = 21 \) (м),
\( 31 — x_2 = 31 — 21 = 10 \) (м).
Таким образом, если первая сторона равна 10 м, вторая будет 21 м, и наоборот. Это подтверждает, что обе пары значений соответствуют сторонам прямоугольника с площадью 210 м².

Ответ: 10 м и 21 м или 21 м и 10 м.