ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 561 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см².

Пусть один катет равен \( x \) см, а второй катет равен \( 23 — x \) см. Составим уравнение:
\( S = \frac{ab}{2} \)
\( 60 = \frac{ab}{2} \)
\( ab = 120 \)
\( x(23 — x) = 120 \)
\( 23x — x^2 = 120 \)
\( 23x — x^2 — 120 = 0 \quad | \cdot (-1) \)
\( x^2 — 23x + 120 = 0 \)
\( D = 529 — 4 \cdot 120 = 529 — 480 = 49 = 7^2 \)
\( x_1 = \frac{23 — 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ (см)}, \quad x_2 = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ (см)}. \)
\( 23 — x_1 = 23 — 8 = 15 \text{ (см)}. \quad 23 — x_2 = 23 — 15 = 8 \text{ (см)}. \)
Ответ: \( 8 \text{ см и } 15 \text{ см} \) или \( 15 \text{ см и } 8 \text{ см}. \)

Пусть один катет равен \( x \) см, а второй катет равен \( 23 — x \) см. Это условие позволяет выразить длины двух катетов через одну переменную \( x \), что упрощает задачу. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то есть \( S = \frac{ab}{2} \). Из условия известно, что площадь равна 60 см², значит:
\( 60 = \frac{ab}{2} \).

Подставим \( a = x \), \( b = 23 — x \), тогда уравнение примет вид:
\( 60 = \frac{x(23 — x)}{2} \).
Умножив обе части на 2, получаем:
\( 120 = x(23 — x) \).
Раскроем скобки:
\( 120 = 23x — x^2 \).
Переносим все в одну сторону для получения квадратного уравнения:
\( x^2 — 23x + 120 = 0 \).

Для решения квадратного уравнения считаем дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = 23^2 — 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 — 480 = 49 \).
Так как \( D = 49 = 7^2 \), корни уравнения будут целыми. Найдем их по формуле:
\( x_1 = \frac{23 — 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \),
\( x_2 = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).

Подставим найденные значения в выражение для второго катета:
Если \( x = 8 \), то \( 23 — x = 15 \).
Если \( x = 15 \), то \( 23 — x = 8 \).
Таким образом, катеты могут быть либо 8 см и 15 см, либо 15 см и 8 см, что соответствует условию задачи.