Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 562 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109. Найдите эти числа.
Пусть первое число \( x \), тогда второе число \( x+1 \).
Составим уравнение:
\( x(x+1) = x + x + 1 + 109 \)
\( x^2 + x — 2x — 110 = 0 \)
\( x^2 — x — 110 = 0 \)
\( D = 1 + 4 \cdot 110 = 1 + 440 = 441 = 21^2 \)
\( x_1 = \frac{1 — 21}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \) – не подходит,
\( x_2 = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} = 11 \) – первое число.
\( x + 1 = 11 + 1 = 12 \) – второе число.
Ответ: 11 и 12.
Пусть первое число \( x \), тогда второе число будет равно \( x + 1 \), так как оно на единицу больше первого. Мы вводим переменную \( x \) для удобства и упрощения дальнейших вычислений, чтобы выразить все через одно неизвестное и составить уравнение.
Составим уравнение по условию задачи. Произведение двух чисел равно сумме этих чисел, увеличенной на 109. То есть:
\( x(x+1) = x + (x+1) + 109 \).
Раскроем скобки слева: \( x^2 + x = x + x + 1 + 109 \).
Справа упростим: \( x^2 + x = 2x + 110 \).
Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\( x^2 + x — 2x — 110 = 0 \),
что упрощается до
\( x^2 — x — 110 = 0 \).
Для решения квадратного уравнения используем дискриминант \( D \), который рассчитывается по формуле
\( D = b^2 — 4ac \), где \( a=1 \), \( b=-1 \), \( c=-110 \).
Подставим значения:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 \).
Так как \( 441 = 21^2 \), дискриминант является полным квадратом, значит уравнение имеет два действительных корня.
Найдём корни уравнения по формуле:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 21}{2} \).
Первый корень:
\( x_1 = \frac{1 — 21}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \),
второй корень:
\( x_2 = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} = 11 \).
Корень \( x_1 = -10 \) не подходит, так как второе число \( x+1 \) тогда будет равно \(-9\), а произведение и сумма чисел не совпадут с условием (проверка покажет несоответствие).
Корень \( x_2 = 11 \) подходит, так как оба числа положительные и удовлетворяют уравнению.
Подставим \( x = 11 \) для проверки второго числа:
\( x + 1 = 11 + 1 = 12 \).
Проверим условие:
Произведение: \( 11 \cdot 12 = 132 \),
Сумма плюс 109: \( 11 + 12 + 109 = 132 \),
значит условие выполнено.
Ответ: первое число \( 11 \), второе число \( 12 \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!