ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 564 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

От прямоугольного листа картона длиной 26 см отрезали с двух сторон квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа. Площадь оставшейся части равна 80 см². Найдите ширину листа картона. Покажите, что задача имеет два решения, и для каждого случая сделайте чертёж (в масштабе 1 : 2).

Пусть по \(x\) см стороны квадратов и ширина листа. Длина оставшейся части равна \(26 — 2x\) см.
Составим уравнение:
\(x(26 — 2x) = 80\)
\(26x — 2x^2 — 80 = 0 \quad | : (-2)\)
\(x^2 — 13x + 40 = 0\)
\(D = 169 — 4 \cdot 40 = 169 — 160 = 9 = 3^2\)
\(x_1 = \frac{13 — 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, (см)\) – сторона квадрата и ширина листа,
\(x_2 = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, (см)\) – сторона квадрата и ширина листа.
Значит, лист картона может иметь форму 26 см и 5 см или 26 см и 8 см.
В масштабе 1 : 2

Ответ: 26 см и 8 см или 26 см и 5 см.

Пусть по \(x\) см стороны квадратов и ширина листа картона. Длина оставшейся части листа, то есть часть без квадратов, равна \(26 — 2x\) см, так как с обеих сторон листа вырезаются квадраты со стороной \(x\). Чтобы найти \(x\), составим уравнение, учитывая, что площадь оставшейся части равна 80 см². Площадь оставшейся части равна произведению ширины \(x\) и длины \(26 — 2x\), то есть:
\(x(26 — 2x) = 80\).

Раскроем скобки:
\(26x — 2x^2 = 80\).
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(26x — 2x^2 — 80 = 0\).
Для удобства разделим уравнение на \(-2\), чтобы привести его к стандартному виду:
\(x^2 — 13x + 40 = 0\).

Чтобы решить квадратное уравнение, найдём дискриминант \(D\):
\(D = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 — 160 = 9\).
Так как \(D = 9 = 3^2\), уравнение имеет два вещественных корня.

Найдём корни по формуле:
\(x_1 = \frac{13 — 3}{2} = \frac{10}{2} = 5\),
\(x_2 = \frac{13 + 3}{2} = \frac{16}{2} = 8\).

Таким образом, возможны два варианта: сторона квадрата и ширина листа равны 5 см или 8 см. При \(x = 5\) длина оставшейся части будет \(26 — 2 \cdot 5 = 16\) см, а при \(x = 8\) длина оставшейся части будет \(26 — 2 \cdot 8 = 10\) см. Эти размеры соответствуют условиям задачи, так как произведение ширины и длины оставшейся части равно 80.

Следовательно, лист картона может иметь размеры 26 см в длину и 5 см в ширину, либо 26 см в длину и 8 см в ширину. В масштабе 1 : 2 это будет выглядеть как прямоугольники с размерами 13 см на 2,5 см и 13 см на 4 см соответственно.