ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 565 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

Пусть гипотенуза равна \( x \) см, тогда один катет равен \( x — 3 \) см,
а второй катет равен \( x — 6 \) см.
Составим уравнение:
\((x — 3)^2 + (x — 6)^2 = x^2\)
\(x^2 — 6x + 9 + x^2 — 12x + 36 = x^2\)
\(x^2 — 18x + 45 = 0\)
\(D = 324 — 4 \cdot 45 = 324 — 180 = 144 = 12^2\)
\(x_1 = \frac{18 — 12}{2} = \frac{6}{2} = 3\) – не подходит,
\(x_2 = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15\) (см) – гипотенуза.
Ответ: 15 см.

Пусть гипотенуза равна \( x \) см. Тогда по условию задачи один катет равен \( x — 3 \) см, а второй катет равен \( x — 6 \) см. Мы обозначили длину гипотенузы как \( x \), чтобы выразить длины катетов через нее. Это позволяет составить уравнение, используя теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Составим уравнение по теореме Пифагора:
\((x — 3)^2 + (x — 6)^2 = x^2\).
Раскроем скобки и возведем в квадрат:
\((x — 3)^2 = x^2 — 6x + 9\),
\((x — 6)^2 = x^2 — 12x + 36\).
Подставим эти выражения в уравнение:
\(x^2 — 6x + 9 + x^2 — 12x + 36 = x^2\).

Объединим подобные члены слева:
\(x^2 + x^2 — 6x — 12x + 9 + 36 = x^2\),
что дает:
\(2x^2 — 18x + 45 = x^2\).
Перенесем все в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:
\(2x^2 — 18x + 45 — x^2 = 0\),
или
\(x^2 — 18x + 45 = 0\).

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант \( D \):
\(D = b^2 — 4ac = (-18)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 — 180 = 144\).
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта равен \( \sqrt{144} = 12 \).

Найдем корни по формуле:
\(x_1 = \frac{18 — 12}{2} = \frac{6}{2} = 3\),
\(x_2 = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15\).

Проверим, какой из корней подходит по условию задачи.
Если \(x = 3\), тогда один катет равен \(3 — 3 = 0\), а второй \(3 — 6 = -3\), что невозможно для длины отрезка. Значит, этот корень не подходит.
Если \(x = 15\), тогда катеты равны \(15 — 3 = 12\) и \(15 — 6 = 9\), что положительно и логично для сторон треугольника.

Таким образом, длина гипотенузы равна \(15\) см.