ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 567 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Старинная задача. Стая обезьян забавляется. Восьмая часть их в квадрате резвится в лесу. Остальные двенадцать кричат на вершине холма. Скажи мне, сколько всего обезьян?

Пусть всего \( x \) обезьян, тогда \( \left(\frac{x}{8}\right)^2 \) обезьян в лесу.
Составим уравнение:
\( \left(\frac{x}{8}\right)^2 + 12 = x \)
\( \frac{x^2}{64} + 12 = x \quad | \cdot 64 \)
\( x^2 — 64x + 768 = 0 \)
\( D = 4096 — 4 \cdot 768 = 4096 — 3072 = 1024 = 32^2 \)
\( x_1 = \frac{64 — 32}{2} = \frac{32}{2} = 16 \) обезьян всего,
\( x_2 = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48 \) обезьян всего.
Ответ: 16 обезьян или 48 обезьян.

Пусть всего \( x \) обезьян. Тогда по условию задачи количество обезьян в лесу выражается как квадрат дроби \( \frac{x}{8} \), то есть \( \left(\frac{x}{8}\right)^2 \). Это означает, что часть всех обезьян, которые находятся в лесу, равна квадрату отношения общего числа обезьян к 8. Такое предположение позволяет нам связать количество обезьян в лесу с общим количеством \( x \).

Составим уравнение, учитывая, что к числу обезьян в лесу добавляется 12, и это в сумме равно общему количеству обезьян:
\( \left(\frac{x}{8}\right)^2 + 12 = x \).
Это уравнение отражает условие задачи: сумма обезьян в лесу и 12 равна общему числу обезьян \( x \).

Умножим обе части уравнения на 64, чтобы избавиться от знаменателя:
\( \frac{x^2}{64} + 12 = x \quad | \cdot 64 \Rightarrow x^2 + 64 \cdot 12 = 64x \).
Раскроем произведение:
\( x^2 + 768 = 64x \).
Перенесём все слагаемые в левую часть:
\( x^2 — 64x + 768 = 0 \).
Получили квадратное уравнение, которое решим стандартным способом.

Вычислим дискриминант \( D \) для уравнения \( x^2 — 64x + 768 = 0 \):
\( D = (-64)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 768 = 4096 — 3072 = 1024 \).
Корень дискриминанта равен \( \sqrt{1024} = 32 \).
Это число понадобится для нахождения корней уравнения.

Найдём корни уравнения по формуле:
\( x_{1,2} = \frac{64 \pm 32}{2} \).
Первый корень:
\( x_1 = \frac{64 — 32}{2} = \frac{32}{2} = 16 \).
Второй корень:
\( x_2 = \frac{64 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48 \).
Таким образом, получаем два возможных значения общего количества обезьян.

Проверим оба значения на смысл задачи. При \( x = 16 \) количество обезьян в лесу будет \( \left(\frac{16}{8}\right)^2 = 2^2 = 4 \), и сумма \( 4 + 12 = 16 \) совпадает с \( x \). При \( x = 48 \) количество обезьян в лесу будет \( \left(\frac{48}{8}\right)^2 = 6^2 = 36 \), и сумма \( 36 + 12 = 48 \) также совпадает с \( x \). Значит, оба решения корректны.

Ответ: 16 обезьян или 48 обезьян.