ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 569 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Число диагоналей \(p\) выпуклого многоугольника вычисляется по формуле \( p = \frac{n(n-3)}{2} \), где \(n\) — число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?

Пусть сторон \( n \), тогда диагоналей \( n + 25 \).
Составим уравнение:
\( n + 25 = \frac{n(n — 3)}{2} \)
\( 2(n + 25) = n^2 — 3n \)
\( n^2 — 3n — 2n — 50 = 0 \)
\( n^2 — 5n — 50 = 0 \)
\( D = 25 + 4 \cdot 50 = 225 = 15^2 \)
\( n_1 = \frac{5 — 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \) – не подходит,
\( n_2 = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) – в десятиугольнике.

Ответ: в десятиугольнике.

Пусть сторон \( n \), тогда диагоналей \( n + 25 \).

Сначала нужно составить уравнение, связывающее количество сторон многоугольника и количество диагоналей. Известно, что количество диагоналей в многоугольнике с \( n \) сторонами вычисляется по формуле \( \frac{n(n — 3)}{2} \). В условии говорится, что диагоналей на 25 больше, чем количество сторон, то есть \( n + 25 \). Значит, приравниваем:
\( n + 25 = \frac{n(n — 3)}{2} \).
Это уравнение позволит найти число сторон \( n \).

Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
\( 2(n + 25) = n(n — 3) \),
что разворачивается в
\( 2n + 50 = n^2 — 3n \).
Переносим все члены в одну сторону для получения квадратного уравнения:
\( n^2 — 3n — 2n — 50 = 0 \),
или
\( n^2 — 5n — 50 = 0 \).
Теперь нужно решить это квадратное уравнение.

Для решения используем дискриминант:
\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 = 15^2 \).
Так как дискриминант положительный и является точным квадратом, уравнение имеет два действительных корня:
\( n_1 = \frac{5 — 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \),
\( n_2 = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).
Поскольку число сторон не может быть отрицательным, отбрасываем \( n_1 = -5 \). Значит, число сторон равно 10.

Таким образом, многоугольник — десятиугольник, так как при \( n = 10 \) количество диагоналей равно \( 10 + 25 = 35 \), что совпадает с формулой \( \frac{10 \cdot (10 — 3)}{2} = 35 \). Это подтверждает правильность решения.