ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 570 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно 36 матчей, причём каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Сколько команд участвовало в розыгрыше?

Пусть \( x \) команд участвовало в розыгрыше, тогда \( x — 1 \) раз сыграла каждая из команд с другой командой.
Составим уравнение:
\( \frac{x(x-1)}{2} = 36 \)
\( x^2 — x — 72 = 0 \)
\( D = 1 + 4 \cdot 72 = 1 + 288 = 289 = 17^2 \)
\( x_1 = \frac{1 — 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8 — \text{не подходит.} \)
\( x_2 = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) (команд).

Ответ: 9 команд.

Пусть \( x \) команд участвовало в розыгрыше. Каждая команда сыграла с каждой другой командой ровно один раз, поэтому количество игр можно представить как количество пар команд. Поскольку у каждой команды есть \( x — 1 \) соперников, всего игр будет \( \frac{x(x-1)}{2} \), так как каждую пару считаем один раз. Это выражение равно 36, что даёт уравнение:
\( \frac{x(x-1)}{2} = 36 \).

Умножая обе части уравнения на 2, получаем:
\( x(x-1) = 72 \),
что раскрывается в квадратное уравнение:
\( x^2 — x — 72 = 0 \).
Здесь \( x \) — неизвестное количество команд. Решение квадратного уравнения поможет найти это число.

Для решения уравнения вычислим дискриминант \( D \):
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 \).
Корень из \( D \) равен \( 17 \), так как \( 17^2 = 289 \).
Теперь находим корни уравнения по формуле:
\( x_1 = \frac{1 — 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \) — отрицательное значение не подходит, так как количество команд не может быть отрицательным,
\( x_2 = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) — положительное и логичное значение.
Таким образом, \( x = 9 \) команд участвовало в розыгрыше.