ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 572 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

От прямоугольного листа картона, длина которого равна 60 см, а ширина — 40 см, отрезали по углам равные квадраты и из оставшейся части склеили открытую коробку. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь основания коробки равна 800 см².

Пусть \(x\) см сторона квадрата, тогда длина оставшейся части равна \(60 — 2x\) см, а ширина оставшейся части равна \(40 — 2x\) см.
Составим уравнение:
\((60 — 2x)(40 — 2x) = 800\)
\(2400 — 120x — 80x + 4x^2 = 800 \Rightarrow\)
\(4x^2 — 200x + 1600 = 0 \quad | : 4\)
\(x^2 — 50x + 400 = 0\)
\(D = 2500 — 4 \cdot 400 = 2500 — 1600 = 900 = 30^2\)
\(x_1 = \frac{50 — 30}{2} = \frac{20}{2} = 10 \, (см) \) – сторона квадрата,
\(x_2 = \frac{50 + 30}{2} = \frac{80}{2} = 40\) – не подходит.
Ответ: \(10\) см.

Пусть \(x\) см сторона квадрата, который вырезается из углов прямоугольника. Длина оставшейся части прямоугольника после вырезания квадратов будет равна \(60 — 2x\) см, так как с каждой стороны вырезается по \(x\) см, итого вычитается по \(2x\) из общей длины 60 см. Аналогично, ширина оставшейся части будет равна \(40 — 2x\) см, так как с каждой стороны ширины вырезается по \(x\) см, и общая ширина 40 см уменьшается на \(2x\).

Далее составляем уравнение, учитывая, что площадь оставшейся части равна 800 см². Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, следовательно,
\((60 — 2x)(40 — 2x) = 800\). Раскроем скобки:
\(60 \cdot 40 — 60 \cdot 2x — 2x \cdot 40 + 4x^2 = 800\),
что даёт
\(2400 — 120x — 80x + 4x^2 = 800\). Объединим подобные члены:
\(2400 — 200x + 4x^2 = 800\).

Перенесём 800 вправо, чтобы получить уравнение равное нулю:
\(4x^2 — 200x + 2400 — 800 = 0\),
то есть
\(4x^2 — 200x + 1600 = 0\). Чтобы упростить уравнение, разделим всё на 4:
\(x^2 — 50x + 400 = 0\). Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Вычислим дискриминант \(D\) по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a=1\), \(b=-50\), \(c=400\):
\(D = (-50)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 400 = 2500 — 1600 = 900\). Корень из 900 равен 30, значит \(D = 30^2\). Тогда корни уравнения:
\(x_1 = \frac{50 — 30}{2} = \frac{20}{2} = 10\),
\(x_2 = \frac{50 + 30}{2} = \frac{80}{2} = 40\).

Проверим корни на смысл задачи: \(x = 40\) не подходит, так как длина или ширина останется отрицательной (например, \(60 — 2 \cdot 40 = -20\)). Значит, единственно возможное решение — \(x = 10\) см. Это и есть сторона вырезаемого квадрата.