ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 573 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 869.

Пусть первое число \( x — 1 \), второе число \( x \), третье число \( x + 1 \). Составим уравнение:

\((x — 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 = 869\) \\
\(x^2 — 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 = 869\) \\
\(3x^2 + 2 = 869\) \\
\(3x^2 = 867\) \\
\(x^2 = 289\) \\
\(x = \pm 17\) — второе число.

При \(x = -17\): \\
\(x — 1 = -17 — 1 = -18\) — первое число; \\
\(x + 1 = -17 + 1 = -16\) — третье число.

При \(x = 17\): \\
\(x — 1 = 17 — 1 = 16\) — первое число; \\
\(x + 1 = 17 + 1 = 18\) — третье число.

Ответ: \(-18; -17; -16\) или \(16; 17; 18\).

Пусть первое число \( x — 1 \), второе число \( x \), третье число \( x + 1 \). Это обозначение выбрано, потому что числа идут подряд, и если взять среднее число за \( x \), то соседние будут на единицу меньше и больше соответственно. Таким образом, мы связываем три числа с помощью одной переменной, что упрощает дальнейшие вычисления.

Составим уравнение, используя условие задачи: сумма квадратов этих трёх чисел равна 869. Значит, \((x — 1)^2 + x^2 + (x + 1)^2 = 869\). Раскроем скобки и упростим выражение. \((x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1\), \(x^2\) остаётся как есть, а \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\). Сложив эти выражения, получаем \(x^2 — 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 = 869\).

В сумме члены с \( -2x \) и \( +2x \) взаимно уничтожаются, остаётся \(3x^2 + 2 = 869\). Чтобы найти \(x^2\), перенесём 2 вправо: \(3x^2 = 867\), далее разделим обе части на 3: \(x^2 = 289\). Это уравнение говорит нам, что квадрат второго числа равен 289, откуда \(x = \pm 17\), то есть второе число может быть либо 17, либо -17.

При \(x = -17\) находим первое и третье числа: \(x — 1 = -17 — 1 = -18\), \(x + 1 = -17 + 1 = -16\). Таким образом, три числа — это \(-18; -17; -16\). При \(x = 17\) аналогично: \(x — 1 = 17 — 1 = 16\), \(x + 1 = 17 + 1 = 18\), три числа — \(16; 17; 18\). Оба варианта удовлетворяют исходному уравнению, так как при подстановке сумма квадратов равна 869.

Ответ: \(-18; -17; -16\) или \(16; 17; 18\).