ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 575 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
\(\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 — b}{2\sqrt{ab} + 2b + 1}\) при \(a = 5, b = 2\).

\( \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 — b \)
\( \frac{a + 2\sqrt{ab} + b — b}{2\sqrt{ab} + 2b + 1} = \frac{a + 2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab} + 2b + 1} \)
\( при \; a = 5, b = 2: \)
\( \frac{a + 2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab} + 2b + 1} = \frac{5 + 2\sqrt{5 \cdot 2}}{2\sqrt{5 \cdot 2} + 2 \cdot 2 + 1} = \frac{5 + 2\sqrt{10}}{5 + 2\sqrt{10}} = 1. \)

\( \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 — b \)
В этом выражении сначала раскрываем квадрат суммы: \( \left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^2 = a + 2\sqrt{ab} + b \). После раскрытия квадрата из результата вычитаем \( b \), что даёт нам \( a + 2\sqrt{ab} + b — b = a + 2\sqrt{ab} \). Таким образом, числитель преобразуется в \( a + 2\sqrt{ab} \).

Знаменатель выражения равен \( 2\sqrt{ab} + 2b + 1 \). В исходной дроби мы видим, что знаменатель не меняется, поэтому дробь принимает вид
\( \frac{a + 2\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab} + 2b + 1} \). Это упрощённое выражение исходной дроби после сокращения.

При подстановке \( a = 5 \) и \( b = 2 \) числитель принимает вид
\( 5 + 2\sqrt{5 \cdot 2} = 5 + 2\sqrt{10} \). Знаменатель при этих значениях равен
\( 2\sqrt{5 \cdot 2} + 2 \cdot 2 + 1 = 2\sqrt{10} + 4 + 1 = 2\sqrt{10} + 5 \). Таким образом, дробь становится
\( \frac{5 + 2\sqrt{10}}{2\sqrt{10} + 5} \).

Обратим внимание, что числитель и знаменатель совпадают по значению, но записаны в разном порядке: \( 5 + 2\sqrt{10} \) и \( 2\sqrt{10} + 5 \). Поскольку сложение коммутативно, эти выражения равны, и поэтому дробь равна единице:
\( \frac{5 + 2\sqrt{10}}{5 + 2\sqrt{10}} = 1 \). Это и есть конечный результат задачи.