ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 576 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) \(\frac{x(x-3)}{6} — \frac{x}{2} = 0\);
б) \(\frac{x(x+1)}{3} + \frac{8 + x}{4} = 2\);
в) \(\frac{2}{5}x + \frac{9 — x}{4} + \frac{9 — x}{6} = 3 \frac{41}{60}\);
г) \(1 + \frac{x — 3,5}{5} + \frac{1}{2} = \frac{x}{3,5} — 1\).

\( \text{a) } \frac{x(x-3)}{6} — \frac{x}{2} = 0 \quad | \cdot 6 \)
\( x(x-3) — 3x = 0 \)
\( x^2 — 3x — 3x = 0 \)
\( x^2 — 6x = 0 \)
\( x(x-6) = 0 \)
\( x = 0 \quad \text{или} \quad x = 6. \)
Ответ: \( x = 0, \, x = 6. \)

\( \text{б) } \frac{x(x+1)}{3} + \frac{8+x}{4} = 2 \quad | \cdot 12 \)
\( 4x(x+1) + 3(8+x) = 24 \)
\( 4x^2 + 4x + 24 + 3x = 24 \)
\( 4x^2 + 7x = 0 \)
\( x(4x+7) = 0 \)
\( x = 0 \quad \text{или} \quad 4x + 7 = 0 \)
\( 4x = -7 \)
\( x = -\frac{7}{4} \)
\( x = -1 \frac{3}{4} \)
Ответ: \( x = -1 \frac{3}{4}, \, x = 0. \)

\( \text{в) } \frac{2}{5}x + \frac{9-x}{4} + \frac{9-x}{6} = 3 \frac{41}{60} \quad | \cdot 60 \)
\( 2x \cdot 12 + 15 \cdot (9 — x) + 10 \cdot (9 — x) = 221 \)
\( 24x + 135 — 15x + 90 — 10x = 221 \)
\( -x + 225 = 221 \)
\( x = 225 — 221 \)
\( x = 4. \)
Ответ: \( x = 4. \)

\( \text{г) } 1 + \frac{x — 3,5}{5} + \frac{1}{2} = \frac{x}{3,5} — 1 \quad | \cdot 70 \)
\( 70 + 14 \cdot (x — 3,5) + 35 = 20x — 70 \)
\( 70 + 14x — 49 + 35 = 20x — 70 \)
\( 14x + 56 = 20x — 70 \)
\( 20x — 14x = 56 + 70 \)
\( 6x = 126 \)
\( x = \frac{126}{6} \)
\( x = 21. \)
Ответ: \( x = 21. \)

а) Начинаем с уравнения \( \frac{x(x-3)}{6} — \frac{x}{2} = 0 \). Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части уравнения на 6, так как 6 — общий знаменатель для 6 и 2. Получаем \( x(x-3) — 3x = 0 \). Далее раскрываем скобки: \( x^2 — 3x — 3x = 0 \), что упрощается до \( x^2 — 6x = 0 \).

Далее выделяем общий множитель \( x \): \( x(x-6) = 0 \). Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо \( x=0 \), либо \( x-6=0 \), откуда \( x=6 \). Получаем два корня: \( x=0 \) и \( x=6 \).

б) Рассматриваем уравнение \( \frac{x(x+1)}{3} + \frac{8+x}{4} = 2 \). Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части на 12 — наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4. Получаем \( 4x(x+1) + 3(8+x) = 24 \). Раскрываем скобки: \( 4x^2 + 4x + 24 + 3x = 24 \), что упрощается до \( 4x^2 + 7x + 24 = 24 \).

Вычитаем 24 с обеих сторон: \( 4x^2 + 7x = 0 \). Вынесем \( x \) за скобки: \( x(4x+7) = 0 \). Значит, либо \( x=0 \), либо \( 4x+7=0 \). Решаем второе уравнение: \( 4x = -7 \), \( x = -\frac{7}{4} \), что равно \( -1 \frac{3}{4} \). Итоговые корни: \( x=0 \) и \( x=-1 \frac{3}{4} \).

в) Уравнение \( \frac{2}{5}x + \frac{9-x}{4} + \frac{9-x}{6} = 3 \frac{41}{60} \) содержит дроби с разными знаменателями. Приводим правую часть к неправильной дроби: \( 3 \frac{41}{60} = \frac{221}{60} \). Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части на 60 — наименьшее общее кратное знаменателей 5, 4 и 6. Получаем: \( 2x \cdot 12 + 15(9-x) + 10(9-x) = 221 \).

Раскрываем скобки: \( 24x + 135 — 15x + 90 — 10x = 221 \). Суммируем похожие члены: \( (24x — 15x — 10x) + (135 + 90) = 221 \), то есть \( -x + 225 = 221 \). Вычитаем 225 с обеих сторон: \( -x = -4 \), значит \( x = 4 \).

г) Уравнение \( 1 + \frac{x — 3,5}{5} + \frac{1}{2} = \frac{x}{3,5} — 1 \) содержит десятичные дроби и смешанные дроби. Умножаем обе части на 70 — наименьшее общее кратное знаменателей 5, 2 и 3,5. Получаем: \( 70 + 14(x — 3,5) + 35 = 20x — 70 \).

Раскрываем скобки: \( 70 + 14x — 49 + 35 = 20x — 70 \). Суммируем числа слева: \( 70 — 49 + 35 = 56 \), значит уравнение становится \( 14x + 56 = 20x — 70 \). Переносим все слагаемые с \( x \) в одну сторону, числа — в другую: \( 20x — 14x = 56 + 70 \), то есть \( 6x = 126 \).

Делим обе части на 6: \( x = \frac{126}{6} = 21 \). Получаем единственный корень \( x=21 \).