ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 578 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите сумму и произведение корней уравнения:
а) \(x^2 — 37x + 27 = 0\);
б) \(y^2 + 41y — 371 = 0\);
в) \(x^2 — 210x = 0\);
г) \(y^2 — 19 = 0\);
д) \(2x^2 — 9x — 10 = 0\);
е) \(5x^2 + 12x + 7 = 0\);
ж) \(-2z^2 + z = 0\);
з) \(3x^2 — 10 = 0\).

а) \(x^2 — 37x + 27 = 0\)
\(D = 1369 — 4 \cdot 27 > 0\)
\(x_1 + x_2 = 37,\quad x_1 x_2 = 27.\)

б) \(y^2 + 41y — 371 = 0\)
\(D = 1681 + 4 \cdot 371 > 0\)
\(y_1 + y_2 = -41,\quad y_1 y_2 = -371.\)

в) \(x^2 — 210x = 0\)
\(x(x — 210) = 0\)
\(x_1 + x_2 = 210,\quad x_1 x_2 = 0.\)

г) \(y^2 — 19 = 0\)
\(y^2 = 19\)
\(y_1 + y_2 = 0,\quad y_1 y_2 = -19.\)

д) \(2x^2 — 9x — 10 = 0\)
\(x^2 — 4,5x — 5 = 0\)
\(D = 20,25 + 4 \cdot 5 > 0\)
\(x_1 + x_2 = 4,5,\quad x_1 x_2 = -5.\)

е) \(5x^2 + 12x + 7 = 0\)
\(x^2 + \frac{12}{5}x + \frac{7}{5} = 0\)
\(x_1 + x_2 = -2,4,\quad x_1 x_2 = 1,4.\)

ж) \(-z^2 + z = 0\)
\(z^2 — z = 0\)
\(z(z — 1) = 0\)
\(z_1 + z_2 = 1,\quad z_1 z_2 = 0.\)

з) \(3x^2 — 10 = 0\)
\(x^2 — \frac{10}{3} = 0\)
\(x^2 = \frac{10}{3}\)
\(x_1 + x_2 = 0,\quad x_1 x_2 = -\frac{10}{3}.\)

а) \(x^2 — 37x + 27 = 0\)
Для начала вычисляем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -37\), \(c = 27\).
\(D = (-37)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 27 = 1369 — 108 = 1261 > 0\), значит уравнение имеет два различных вещественных корня.
По свойствам квадратного уравнения сумма корней равна \(-\frac{b}{a} = 37\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a} = 27\).
Таким образом, \(x_1 + x_2 = 37,\quad x_1 x_2 = 27.\)

б) \(y^2 + 41y — 371 = 0\)
Вычислим дискриминант: \(D = 41^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-371) = 1681 + 1484 = 3165 > 0\), уравнение имеет два различных корня.
Сумма корней по формуле \(-\frac{b}{a} = -41\), произведение корней \(\frac{c}{a} = -371\).
Следовательно, \(y_1 + y_2 = -41,\quad y_1 y_2 = -371.\)

в) \(x^2 — 210x = 0\)
Вынесем общий множитель: \(x(x — 210) = 0\).
Отсюда корни: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 210\).
Сумма корней \(0 + 210 = 210\), произведение корней \(0 \cdot 210 = 0\).
Итог: \(x_1 + x_2 = 210,\quad x_1 x_2 = 0.\)

г) \(y^2 — 19 = 0\)
Переносим свободный член: \(y^2 = 19\).
Корни: \(y_1 = \sqrt{19}\), \(y_2 = -\sqrt{19}\).
Сумма корней \(y_1 + y_2 = \sqrt{19} — \sqrt{19} = 0\), произведение корней \(y_1 y_2 = (\sqrt{19})(-\sqrt{19}) = -19\).
Таким образом, \(y_1 + y_2 = 0,\quad y_1 y_2 = -19.\)

д) \(2x^2 — 9x — 10 = 0\)
Разделим уравнение на 2 для удобства: \(x^2 — 4,5x — 5 = 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-4,5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 20,25 + 20 = 40,25 > 0\), два различных корня.
Сумма корней \(-\frac{b}{a} = 4,5\), произведение корней \(\frac{c}{a} = -5\).
Значит, \(x_1 + x_2 = 4,5,\quad x_1 x_2 = -5.\)

е) \(5x^2 + 12x + 7 = 0\)
Разделим уравнение на 5: \(x^2 + \frac{12}{5}x + \frac{7}{5} = 0\).
Сумма корней \(-\frac{b}{a} = -\frac{12}{5} = -2,4\), произведение корней \(\frac{c}{a} = \frac{7}{5} = 1,4\).
Таким образом, \(x_1 + x_2 = -2,4,\quad x_1 x_2 = 1,4.\)

ж) \(-z^2 + z = 0\)
Перепишем уравнение: \(z^2 — z = 0\).
Вынесем общий множитель: \(z(z — 1) = 0\).
Корни: \(z_1 = 0\), \(z_2 = 1\).
Сумма корней \(0 + 1 = 1\), произведение корней \(0 \cdot 1 = 0\).
Итог: \(z_1 + z_2 = 1,\quad z_1 z_2 = 0.\)

з) \(3x^2 — 10 = 0\)
Перенесём свободный член: \(3x^2 = 10\).
Разделим на 3: \(x^2 = \frac{10}{3}\).
Корни: \(x_1 = \sqrt{\frac{10}{3}}\), \(x_2 = -\sqrt{\frac{10}{3}}\).
Сумма корней \(x_1 + x_2 = \sqrt{\frac{10}{3}} — \sqrt{\frac{10}{3}} = 0\), произведение корней \(x_1 x_2 = -\frac{10}{3}\).
Таким образом, \(x_1 + x_2 = 0,\quad x_1 x_2 = -\frac{10}{3}.\)