Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 579 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
а) \(x^2 — 2x — 9 = 0\);
б) \(3t^2 — 4t — 4 = 0\);
в) \(2z^2 + 7z — 6 = 0\);
г) \(2t^2 + 9t + 8 = 0\).
\(a) \quad x^2 — 2x — 9 = 0\)
\(D = 4 + 4 \cdot 9 = 4 + 36 = 40 = 2 \sqrt{10}\)
\(x_1 = \frac{2 — 2 \sqrt{10}}{2} = 1 — \sqrt{10}, \quad x_2 = \frac{2 + 2 \sqrt{10}}{2} = 1 + \sqrt{10}.\)
Проверка:
\(x_1 + x_2 = 2\)
\(1 — \sqrt{10} + 1 + \sqrt{10} = 2 — \text{верно}.\)
\(x_1 x_2 = -9\)
\(\left(1 + \sqrt{10}\right)\left(1 — \sqrt{10}\right) = 1 — 10 = -9 — \text{верно}.\)
\(б) \quad 3x^2 — 4x — 4 = 0\)
\(D = 16 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 + 48 = 64 = 8^2\)
\(x_1 = \frac{4 — 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2.\)
Проверка:
\(x^2 — \frac{4}{3} x — \frac{4}{3} = 0\)
\(x_1 + x_2 = \frac{4}{3}\)
\(-\frac{2}{3} + 2 = 1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3} — \text{верно}.\)
\(x_1 x_2 = -\frac{4}{3}\)
\(-\frac{2}{3} \cdot 2 = -\frac{4}{3} — \text{верно}.\)
\(в) \quad 2x^2 + 7x — 6 = 0\)
\(D = 49 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 + 48 = 97 = \sqrt{97}\)
\(x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{4}.\)
Проверка:
\(x^2 + 3,5x — 3 = 0\)
\(x_1 + x_2 = -3,5\)
\(\frac{-7 — \sqrt{97}}{4} + \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} = \frac{-7 — \sqrt{97} -7 + \sqrt{97}}{4} = \frac{-14}{4} = -3,5 — \text{верно}.\)
\(x_1 x_2 = -3\)
\(\left(\frac{-7 — \sqrt{97}}{4}\right)\left(\frac{-7 + \sqrt{97}}{4}\right) = \frac{49 — 97}{16} = \frac{-48}{16} = -3 — \text{верно}.\)
\(г) \quad 2x^2 + 9x + 8 = 0\)
\(D = 81 — 4 \cdot 2 \cdot 8 = 81 — 64 = 17 = \sqrt{17}\)
\(x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{17}}{4}.\)
Проверка:
\(x^2 + 4,5x + 4 = 0\)
\(x_1 + x_2 = -4,5\)
\(\frac{-9 — \sqrt{17}}{4} + \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} = \frac{-9 — \sqrt{17} — 9 + \sqrt{17}}{4} = \frac{-18}{4} = -4,5 — \text{верно}\)
\(x_1 x_2 = 4\)
\(\left(\frac{-9 — \sqrt{17}}{4}\right)\left(\frac{-9 + \sqrt{17}}{4}\right) = \frac{81 — 17}{16} = \frac{64}{16} = 4 — \text{верно}.\)
а) Уравнение \(x^2 — 2x — 9 = 0\) является квадратным уравнением стандартного вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -9\). Для нахождения корней сначала вычисляем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\). Подставляем значения: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40\). Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два различных корня.
Далее находим корни по формуле:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2} = 1 \pm \sqrt{10}\).
Таким образом, \(x_1 = 1 — \sqrt{10}\), \(x_2 = 1 + \sqrt{10}\). Проверяем сумму корней: \(x_1 + x_2 = 1 — \sqrt{10} + 1 + \sqrt{10} = 2\), что совпадает с \(-\frac{b}{a} = 2\). Произведение корней: \(x_1 x_2 = (1 — \sqrt{10})(1 + \sqrt{10}) = 1 — 10 = -9\), что совпадает с \(\frac{c}{a} = -9\). Решение верно.
б) Рассмотрим уравнение \(3x^2 — 4x — 4 = 0\). Коэффициенты: \(a=3\), \(b=-4\), \(c=-4\). Вычисляем дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\). Поскольку \(D = 8^2\), корни будут рациональными. Находим корни:
\(x_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{6}\). Тогда
\(x_1 = \frac{4 — 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\),
\(x_2 = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2\).
Проверяем сумму корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}\), что совпадает с \(-\frac{b}{a} = \frac{4}{3}\). Проверяем произведение: \(x_1 x_2 = -\frac{2}{3} \cdot 2 = -\frac{4}{3}\), что совпадает с \(\frac{c}{a} = -\frac{4}{3}\). Решение подтверждено.
в) Уравнение \(2x^2 + 7x — 6 = 0\) с коэффициентами \(a=2\), \(b=7\), \(c=-6\). Считаем дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49 + 48 = 97\). Дискриминант положителен и не является точным квадратом, значит корни иррациональные. Корни находятся по формуле:
\(x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{4}\).
Проверяем сумму корней:
\(x_1 + x_2 = \frac{-7 — \sqrt{97}}{4} + \frac{-7 + \sqrt{97}}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5\), что совпадает с \(-\frac{b}{a} = -\frac{7}{2} = -3.5\).
Проверяем произведение корней:
\(x_1 x_2 = \frac{(-7)^2 — (\sqrt{97})^2}{16} = \frac{49 — 97}{16} = \frac{-48}{16} = -3\), что совпадает с \(\frac{c}{a} = -3\). Решение верно.
г) Для уравнения \(2x^2 + 9x + 8 = 0\) вычисляем дискриминант:
\(D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 8 = 81 — 64 = 17\). Корни:
\(x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{17}}{4}\).
Проверяем сумму корней:
\(x_1 + x_2 = \frac{-9 — \sqrt{17}}{4} + \frac{-9 + \sqrt{17}}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5\), что совпадает с \(-\frac{b}{a} = -\frac{9}{2} = -4.5\).
Проверяем произведение корней:
\(x_1 x_2 = \frac{81 — 17}{16} = \frac{64}{16} = 4\), что совпадает с \(\frac{c}{a} = 4\). Проверка показывает, что корни найдены правильно.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!