Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 580 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
а) \(x^2 — 15x — 16 = 0\);
б) \(m^2 — 6m — 11 = 0\);
в) \(12x^2 — 4x — 1 = 0\);
г) \(t^2 — 6 = 0\);
д) \(5x^2 — 18x = 0\);
е) \(2y^2 — 41 = 0\).
а) \(x^2 — 15x — 16 = 0\)
\(D = 225 + 4 \cdot 16 = 225 + 64 = 289 = 17^2\)
\(x_1 = \frac{15 — 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16.\)
Проверка:
\(x_1 + x_2 = 15\)
\(-1 + 16 = 15\) – верно.
\(x_1 x_2 = -16\)
\(-1 \cdot 16 = -16\) – верно.
б) \(x^2 — 6x — 11 = 0\)
\(D = 36 + 4 \cdot 11 = 36 + 44 = 80 = 4\sqrt{5}\)
\(x_1 = \frac{6 + 4\sqrt{5}}{2} = 3 + 2\sqrt{5}, \quad x_2 = \frac{6 — 4\sqrt{5}}{2} = 3 — 2\sqrt{5}\)
Проверка:
\(x_1 + x_2 = 6\)
\(3 + 2\sqrt{5} + 3 — 2\sqrt{5} = 6\) – верно.
\(x_1 x_2 = -11\)
\(\left(3 + 2\sqrt{5}\right)\left(3 — 2\sqrt{5}\right) = 9 — 4 \cdot 5 = 9 — 20 = -11\) – верно.
в) \(12x^2 — 4x — 1 = 0\)
\(D = 16 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64 = 8^2\)
\(x_1 = \frac{4 — 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}, \quad x_2 = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\)
Проверка:
\(12x^2 — 4x — 1 = 0\)
\(x^2 — \frac{1}{3}x — \frac{1}{12} = 0\)
\(x_1 + x_2 = \frac{1}{3}\)
\(-\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) – верно.
\(x_1 x_2 = -\frac{1}{12}\)
\(-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{12}\) – верно.
г) \(x^2 — 6 = 0\)
\(x^2 = 6\)
\(x = \pm \sqrt{6}\)
Проверка:
\(x_1 + x_2 = 0\)
\(\sqrt{6} — \sqrt{6} = 0\) – верно.
\(x_1 x_2 = -6\)
\(\sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -6\) – верно.
д) \(5x^2 — 18x = 0\)
\(x(5x — 18) = 0\)
\(x = 0, \quad 5x — 18 = 0\)
\(5x = 18\)
\(x = \frac{18}{5} = 3{,}6\)
Проверка:
\(5x^2 — 18x = 0\)
\(x_1 x_2 = 0\)
\(0 \cdot 3{,}6 = 0\) – верно.
\(x_1 + x_2 = 3{,}6\)
\(0 + 3{,}6 = 3{,}6\) – верно.
е) \(2x^2 — 41 = 0\)
\(2x^2 = 41\)
\(x^2 = 20{,}5\)
\(x = \pm \sqrt{20{,}5}\)
Проверка:
\(2x^2 — 41 = 0\)
\(x_1 x_2 = -20{,}5\)
\(\sqrt{20{,}5} \cdot (-\sqrt{20{,}5}) = -20{,}5\) – верно.
\(x_1 + x_2 = 0\)
\(\sqrt{20{,}5} — \sqrt{20{,}5} = 0\) – верно.
а) \(x^2 — 15x — 16 = 0\) — квадратное уравнение, где коэффициенты \(a = 1\), \(b = -15\), \(c = -16\). Чтобы найти корни, используем дискриминант \(D = b^2 — 4ac\). Подставляем значения: \(D = (-15)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289\). Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два разных корня. Корни вычисляем по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
Подставляем: \(x_1 = \frac{15 — 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16\). Проверяем сумму и произведение корней: \(x_1 + x_2 = -1 + 16 = 15\), что равно \(-\frac{b}{a}\), и \(x_1 x_2 = -1 \cdot 16 = -16\), что равно \(\frac{c}{a}\). Значит, корни найдены верно.
б) \(x^2 — 6x — 11 = 0\) — квадратное уравнение с \(a=1\), \(b=-6\), \(c=-11\). Вычисляем дискриминант: \(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80\). Корни будут иррациональными, так как \(D\) не является квадратом целого числа. Находим корни: \(x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}\).
Проверяем сумму: \(x_1 + x_2 = (3 + 2\sqrt{5}) + (3 — 2\sqrt{5}) = 6\), что равно \(-\frac{b}{a}\). Произведение: \(x_1 x_2 = (3 + 2\sqrt{5})(3 — 2\sqrt{5}) = 9 — 4 \cdot 5 = 9 — 20 = -11\), что равно \(\frac{c}{a}\). Корни найдены корректно.
в) \(12x^2 — 4x — 1 = 0\) — уравнение с \(a=12\), \(b=-4\), \(c=-1\). Считаем дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64\). Корни будут рациональными, так как \(D = 8^2\). Находим корни по формуле: \(x_{1,2} = \frac{4 \pm 8}{2 \cdot 12} = \frac{4 \pm 8}{24}\).
Первый корень: \(x_1 = \frac{4 — 8}{24} = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}\), второй: \(x_2 = \frac{4 + 8}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\). Проверяем сумму: \(x_1 + x_2 = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{-1 + 3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), что равно \(-\frac{b}{a} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Произведение: \(x_1 x_2 = -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{12}\), что равно \(\frac{c}{a} = -\frac{1}{12}\). Корни верны.
г) \(x^2 — 6 = 0\) — уравнение с \(a=1\), \(b=0\), \(c=-6\). Переносим свободный член: \(x^2 = 6\). Корни — квадратные корни из 6: \(x = \pm \sqrt{6}\). Проверяем: сумма корней \(x_1 + x_2 = \sqrt{6} + (-\sqrt{6}) = 0\), что равно \(-\frac{b}{a} = 0\). Произведение корней: \(x_1 x_2 = \sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6}) = -6\), что равно \(\frac{c}{a} = -6\). Решение правильное.
д) \(5x^2 — 18x = 0\) — уравнение с \(a=5\), \(b=-18\), \(c=0\). Вынесем \(x\) за скобки: \(x(5x — 18) = 0\). Отсюда либо \(x = 0\), либо \(5x — 18 = 0\). Решаем второе: \(5x = 18 \Rightarrow x = \frac{18}{5} = 3{,}6\). Проверка: сумма корней \(x_1 + x_2 = 0 + 3{,}6 = 3{,}6\), что равно \(-\frac{b}{a} = \frac{18}{5} = 3{,}6\). Произведение: \(x_1 x_2 = 0 \cdot 3{,}6 = 0\), что равно \(\frac{c}{a} = 0\). Корни верны.
е) \(2x^2 — 41 = 0\) — уравнение с \(a=2\), \(b=0\), \(c=-41\). Переносим свободный член: \(2x^2 = 41\). Делим на 2: \(x^2 = \frac{41}{2} = 20{,}5\). Корни: \(x = \pm \sqrt{20{,}5}\). Проверяем сумму корней: \(x_1 + x_2 = \sqrt{20{,}5} + (-\sqrt{20{,}5}) = 0\), что равно \(-\frac{b}{a} = 0\). Произведение: \(x_1 x_2 = \sqrt{20{,}5} \cdot (-\sqrt{20{,}5}) = -20{,}5\), что равно \(\frac{c}{a} = -\frac{41}{2} = -20{,}5\). Решение правильное.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!