ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 585 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Один из корней уравнения \(5x^2 + bx + 24 = 0\) равен 8. Найдите другой корень и коэффициент \(b\).

\(5x^2 + bx + 24 = 0\)
\(x^2 + \frac{b}{5}x + \frac{24}{5} = 0\)
\(x_1 x_2 = \frac{24}{5}\)
\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{5}\)
\(8 x_2 = \frac{24}{5}\)
\(40 x_2 = 24\)
\(x_2 = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}\).

\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{5}\)
\(8 + \frac{3}{5} = -\frac{b}{5}\)
\(\frac{43}{5} = -\frac{b}{5}\)
\(b = -43.\)

Ответ: \(x_2 = \frac{3}{5}, \quad b = -43.\)

\(5x^2 + bx + 24 = 0\)
Для удобства разделим все члены уравнения на 5, чтобы привести уравнение к виду с единичным коэффициентом при \(x^2\). Это позволит легче применять формулы Виета и работать с корнями.
Получаем:
\(x^2 + \frac{b}{5} x + \frac{24}{5} = 0\).

Из формул Виета известно, что произведение корней уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при \(x^2\), а сумма корней равна отрицательному коэффициенту при \(x\), делённому на коэффициент при \(x^2\). В нашем случае:
\(x_1 x_2 = \frac{24}{5}\),
\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{5}\).

Дано, что один из корней равен \(x_1 = 8\). Подставим это в формулу произведения корней, чтобы найти второй корень \(x_2\):
\(8 \cdot x_2 = \frac{24}{5}\).
Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:
\(40 \cdot x_2 = 24\).
Отсюда находим:
\(x_2 = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}\).

Теперь, зная оба корня, подставим их в формулу суммы корней:
\(8 + \frac{3}{5} = -\frac{b}{5}\).
Приведём левую часть к общему знаменателю:
\(\frac{40}{5} + \frac{3}{5} = \frac{43}{5}\).
Получаем уравнение:
\(\frac{43}{5} = -\frac{b}{5}\).
Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателей:
\(43 = -b\).
Следовательно,
\(b = -43\).

Таким образом, мы нашли второй корень уравнения и коэффициент \(b\), используя формулы Виета и данные о первом корне.
Ответ: \(x_2 = \frac{3}{5}, \quad b = -43.\)