ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 587 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разность корней квадратного уравнения \(x^2 — 12x + q = 0\) равна 2. Найдите \(q\).

\(x^2 — 12x + q = 0\)
\(\left\{\begin{matrix} x_1 — x_2 = 2 \\ x_1 + x_2 = 12 \end{matrix}\right.\)
\( \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x_1 = 14 \\ x_2 = x_1 — 2 \end{matrix}\right.\)
\( \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 = 7 \\ x_2 = 7 — 2 \end{matrix}\right.\)
\( \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_1 = 7 \\ x_2 = 5 \end{matrix}\right.\)
\(x_1 x_2 = q\)
\(7 \cdot 5 = q\)
\(q = 35.\)
Ответ: \(q = 35.\)

\(x^2 — 12x + q = 0\) — это квадратное уравнение, в котором нам нужно найти значение параметра \(q\). Для этого воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения. Пусть корни уравнения равны \(x_1\) и \(x_2\). Из теории известно, что сумма корней равна коэффициенту при \(x\) с обратным знаком, то есть \(x_1 + x_2 = 12\), а произведение корней равно свободному члену \(q\), то есть \(x_1 x_2 = q\).

\( \left\{\begin{matrix} x_1 — x_2 = 2 \\ x_1 + x_2 = 12 \end{matrix}\right. \) — данная система уравнений позволяет найти конкретные значения корней \(x_1\) и \(x_2\). Первая формула выражает разность корней, вторая — их сумму. Решая систему, складываем уравнения для исключения \(x_2\): \(x_1 — x_2 + x_1 + x_2 = 2 + 12\), что даёт \(2x_1 = 14\), откуда \(x_1 = 7\). Подставляя \(x_1 = 7\) в первое уравнение, получаем \(7 — x_2 = 2\), значит \(x_2 = 5\).

Теперь, зная корни, вычисляем произведение: \(x_1 x_2 = 7 \cdot 5 = 35\). По формуле произведения корней квадратного уравнения имеем \(q = 35\). Таким образом, параметр \(q\) равен 35, что и является искомым значением.

\(x_1 x_2 = q\)
\(7 \cdot 5 = q\)
\(q = 35.\)
Ответ: \(q = 35.\)