ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 589 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разность квадратов корней уравнения \(x^2 + 2x + q = 0\) равна 12. Найдите \(q\).

\(x^2 + 2x + q = 0\)
\(\begin{cases} x_1^2 — x_2^2 = 12 \\ x_1 + x_2 = -2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) = 12 \\ x_1 + x_2 = -2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} -2(x_1 — x_2) = 12 \\ x_1 + x_2 = -2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x_1 — x_2 = -6 \\ x_1 + x_2 = -2 \end{cases} \Rightarrow\)
\(\begin{cases} 2x_1 = -8 \\ x_2 = -2 — x_1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x_1 = -4 \\ x_2 = -2 — (-4) \end{cases}\)
\(\begin{cases} x_1 = -4 \\ x_2 = 2 \end{cases}\)
\(x_1 x_2 = q\)
\(-4 \cdot 2 = q\)
\(q = -8\).
Ответ: \(q = -8\).

\(x^2 + 2x + q = 0\)
Для начала обозначим корни уравнения за \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета, сумма корней равна коэффициенту при \(x\) с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену. То есть:
\(x_1 + x_2 = -2\),
\(x_1 x_2 = q\).
Дано условие: \(x_1^2 — x_2^2 = 12\). Это выражение можно преобразовать через разность квадратов:
\(x_1^2 — x_2^2 = (x_1 — x_2)(x_1 + x_2) = 12\).
Так как \(x_1 + x_2 = -2\), подставим это в уравнение:
\((x_1 — x_2)(-2) = 12\).
Отсюда следует, что:
\(-2(x_1 — x_2) = 12\),
\(x_1 — x_2 = -6\).

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:
\(\begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 — x_2 = -6 \end{cases}\).
Сложим эти уравнения, чтобы найти \(x_1\):
\(2x_1 = -8\),
\(x_1 = -4\).
Подставим значение \(x_1\) во второе уравнение:
\(-4 — x_2 = -6\),
\(x_2 = 2\).

Имея корни, найдём произведение:
\(x_1 x_2 = (-4) \cdot 2 = -8\).
Так как \(x_1 x_2 = q\), получаем:
\(q = -8\).