ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 59 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните действие:
а) \(\frac{16}{x — 4} — \frac{x^2}{x — 4}\);
б) \(\frac{25}{a + 5} — \frac{a^2}{a + 5}\);
в) \(\frac{3a — 1}{a^2 — b^2} — \frac{3b — 1}{a^2 — b^2}\);
г) \(\frac{3x — 1}{x^2 — 64} + \frac{11}{x^2 — 64}\);
д) \(\frac{2a + b}{(a — b)^2} — \frac{2b — 5a}{(a — b)^2}\);
е) \(\frac{13x + 6y}{(x + y)^2} — \frac{11x + 4y}{(x + y)^2}\).

а) \( \frac{16}{x — 4} — \frac{x^2}{x — 4} = \frac{16 — x^2}{x — 4} = \frac{(4 — x)(4 + x)}{x — 4} = \frac{-(x — 4)(4 + x)}{x — 4} = -(4 + x) =\) \(= -x — 4; \)

б) \( \frac{25}{a + 5} — \frac{a^2}{a + 5} = \frac{25 — a^2}{a + 5} = \frac{(5 — a)(5 + a)}{a + 5} = 5 — a; \)

в) \( \frac{3a — 1}{a^2 — b^2} — \frac{3b — 1}{a^2 — b^2} = \frac{3a — 1 — 3b + 1}{a^2 — b^2} = \frac{3a — 3b}{a^2 — b^2} = \frac{3(a — b)}{(a — b)(a + b)} = \frac{3}{a + b}; \)

г) \( \frac{x — 3}{x^2 — 64} + \frac{11}{x^2 — 64} = \frac{x — 3 + 11}{x^2 — 64} = \frac{x + 8}{(x — 8)(x + 8)} = \frac{1}{x — 8}; \)

д) \( \frac{2a + b}{(a — b)^2} — \frac{2b — 5a}{(a — b)^2} = \frac{2a + b — (2b — 5a)}{(a — b)^2} = \frac{2a + b — 2b + 5a}{(a — b)^2} = \frac{7a — b}{(a — b)^2}; \)

е) \( \frac{13x + 6y}{(x + y)^2} — \frac{11x + 4y}{(x + y)^2} = \frac{13x + 6y — 11x — 4y}{(x + y)^2} = \frac{2x + 2y}{(x + y)^2} = \frac{2(x + y)}{(x + y)^2} = \frac{2}{x + y}. \)

а) В данном выражении мы имеем разность двух дробей с одинаковым знаменателем \(x — 4\), поэтому можно объединить числители в одну дробь: \(\frac{16}{x — 4} — \frac{x^2}{x — 4} = \frac{16 — x^2}{x — 4}\). Далее числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\), где \(a = 4\), \(b = x\). Получаем \(\frac{(4 — x)(4 + x)}{x — 4}\). Чтобы упростить выражение, заметим, что \(4 — x = -(x — 4)\), тогда дробь принимает вид \(\frac{-(x — 4)(4 + x)}{x — 4}\). Сокращая на общий множитель \(x — 4\), получаем \(- (4 + x)\), что равно \(-x — 4\).

Таким образом, мы последовательно использовали свойства дробей с одинаковым знаменателем, разложение разности квадратов и упрощение с помощью отрицательного знака, чтобы получить окончательный результат.

б) Здесь также складываем две дроби с одинаковым знаменателем \(a + 5\), поэтому их можно объединить: \(\frac{25}{a + 5} — \frac{a^2}{a + 5} = \frac{25 — a^2}{a + 5}\). Числитель снова является разностью квадратов: \(25 — a^2 = (5 — a)(5 + a)\). Подставляя, получаем \(\frac{(5 — a)(5 + a)}{a + 5}\). Учитывая, что \(5 + a = a + 5\), можно сократить знаменатель с одним из множителей числителя, остаётся \(5 — a\).

Таким образом, упрощение происходит за счёт разложения разности квадратов и сокращения общих множителей в числителе и знаменателе.

в) В этом случае у нас разность двух дробей с одинаковым знаменателем \(a^2 — b^2\), которую можно объединить: \(\frac{3a — 1}{a^2 — b^2} — \frac{3b — 1}{a^2 — b^2} = \frac{3a — 1 — (3b — 1)}{a^2 — b^2}\). Раскрываем скобки в числителе: \(3a — 1 — 3b + 1 = 3a — 3b\). Знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов: \(a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)\). Получаем \(\frac{3(a — b)}{(a — b)(a + b)}\). Сокращаем общий множитель \(a — b\) и остаётся \(\frac{3}{a + b}\).

Таким образом, мы использовали объединение дробей, раскрытие скобок и разложение знаменателя, чтобы получить более простое выражение.

г) Здесь складываем две дроби с одинаковым знаменателем \(x^2 — 64\), что позволяет объединить числители: \(\frac{x — 3}{x^2 — 64} + \frac{11}{x^2 — 64} = \frac{x — 3 + 11}{x^2 — 64} = \frac{x + 8}{x^2 — 64}\). Знаменатель раскладываем как разность квадратов: \(x^2 — 64 = (x — 8)(x + 8)\). Подставляем и видим, что числитель совпадает с множителем \(x + 8\) в знаменателе, поэтому сокращаем и остаётся \(\frac{1}{x — 8}\).

Таким образом, упрощение происходит за счёт объединения дробей, разложения знаменателя и сокращения общих множителей.

д) В выражении две дроби с одинаковым знаменателем \((a — b)^2\), поэтому их можно объединить: \(\frac{2a + b}{(a — b)^2} — \frac{2b — 5a}{(a — b)^2} = \frac{2a + b — (2b — 5a)}{(a — b)^2}\). Раскрываем скобки в числителе: \(2a + b — 2b + 5a = 7a — b\). Итоговое выражение: \(\frac{7a — b}{(a — b)^2}\).

Так как знаменатель одинаковый, мы просто вычитаем числители и упрощаем, раскрывая скобки.

е) Здесь разность дробей с одинаковым знаменателем \((x + y)^2\): \(\frac{13x + 6y}{(x + y)^2} — \frac{11x + 4y}{(x + y)^2} = \frac{13x + 6y — 11x — 4y}{(x + y)^2}\). Вычитаем поэлементно числители: \(13x — 11x = 2x\), \(6y — 4y = 2y\), получаем \(\frac{2x + 2y}{(x + y)^2}\). В числителе можно вынести общий множитель 2: \(\frac{2(x + y)}{(x + y)^2}\). Сокращаем общий множитель \(x + y\) в числителе и знаменателе, остаётся \(\frac{2}{x + y}\).

Таким образом, мы применили свойства сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем, вынесли общий множитель и сократили дробь.