ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 590 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что сумма квадратов корней уравнения \(x^2 — 3x + a = 0\) равна 65. Найдите \(a\).

\(x^2 — 3x + a = 0\)
\(\left\{\begin{array}{l} x_1^2 + x_2^2 = 65 \\ x_1 + x_2 = 3 \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l} (x_1 + x_2)^2 = 9 \\ x_1^2 + x_2^2 = 65 \end{array}\right.\)
\(x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 = 9\)
\(\left(x_1^2 + x_2^2\right) + 2x_1 x_2 = 9\)
\(65 + 2a = 9\)
\(2a = 9 — 65\)
\(2a = -56\)
\(a = -28.\)
Ответ: \(a = -28.\)

\(x^2 — 3x + a = 0\) — уравнение, корни которого \(x_1\) и \(x_2\). Известно, что сумма корней \(x_1 + x_2 = 3\), а также \(x_1^2 + x_2^2 = 65\). Для нахождения коэффициента \(a\) используем свойства корней квадратного уравнения и данные условия.

Сначала запишем сумму корней: \(x_1 + x_2 = 3\). Возводим эту сумму в квадрат: \((x_1 + x_2)^2 = 3^2 = 9\). Раскроем скобки: \((x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2\). Подставим известные значения: \(x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 = 9\).

Из условия известно, что \(x_1^2 + x_2^2 = 65\). Подставим это в уравнение: \(65 + 2x_1 x_2 = 9\). Отсюда выразим произведение корней: \(2x_1 x_2 = 9 — 65 = -56\), значит, \(x_1 x_2 = -28\).

Зная, что в уравнении \(x^2 — 3x + a = 0\) сумма корней равна \(-\frac{b}{a} = 3\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a} = a\) (так как коэффициент при \(x^2\) равен 1), получаем, что \(a = x_1 x_2 = -28\).

Таким образом, используя формулы Виета и данные условия, мы нашли, что \(a = -28\). Проверка через подстановку в уравнение подтверждает корректность результата.

\(Ответ: a = -28.\)