ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 591 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если имеет, то определите их знаки:

а) \(x^2 + 7x — 1 = 0\);

б) \(x^2 — 7x + 1 = 0\);

в) \(5x^2 + 17x + 16 = 0\);

г) \(19x^2 — 23x + 5 = 0\);

д) \(2x^2 + 5\sqrt{3}x + 11 = 0\);

е) \(11x^2 — 9x + 7 — 5\sqrt{2} = 0\).

1) Сформулируйте теорему, на основании которой можно определить знаки корней.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в), д), а кто — задания б), г), е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания. Исправьте ошибки, если они допущены.

\( \text{а) } x^2 + 7x — 1 = 0 \)
\( D = 49 + 4 > 0 — \text{имеет два корня.} \)
\( x_1 + x_2 < 0, \quad x_1 x_2 < 0 \)
\( x_1 < 0, \quad x_2 > 0. \)

\( \text{б) } x^2 — 7x + 1 = 0 \)
\( D = 49 — 4 > 0 — \text{имеет два корня.} \)
\( x_1 + x_2 > 0, \quad x_1 x_2 > 0 \)
\( x_1 > 0, \quad x_2 > 0. \)

\( \text{в) } 5x^2 + 17x + 16 = 0 \)
\( D = 289 — 4 \cdot 5 \cdot 16 = 289 — 320 < 0 — \text{корней нет.} \) \( \text{г) } 19x^2 — 23x + 5 = 0 \) \( D = 529 — 4 \cdot 19 \cdot 5 = 529 — 380 > 0 — \text{имеет два корня.} \)
\( x_1 + x_2 > 0, \quad x_1 x_2 > 0 \)
\( x_1 > 0, \quad x_2 > 0. \)

\( \text{д) } 2x^2 + 5\sqrt{3}x + 11 = 0 \)
\( D = 25 \cdot 3 — 4 \cdot 2 \cdot 11 = 75 — 88 < 0 — \text{корней нет.} \) \( \text{е) } 11x^2 — 9x + 7 — 5\sqrt{2} = 0 \) \( D = 81 — 4 \cdot 11 \cdot \left(7 — 5\sqrt{2}\right) = 81 — 44 \cdot \left(7 — 5\sqrt{2}\right) = \) \( = 81 — 308 + 220\sqrt{2} = -227 + 220 \cdot 1,41 = \) \( = -227 + 310,2 > 0 — \text{имеет два корня.} \)
\( x_1 + x_2 > 0, \quad x_1 x_2 < 0 \) \( x_1 > 0, \quad x_2 < 0. \) Теорема знаков корней: если \( x_1 + x_2 > 0 \) и \( x_1 x_2 > 0 \), то \( x_1 > 0, x_2 > 0 \)
если \( x_1 + x_2 > 0 \) и \( x_1 x_2 < 0 \), то \( x_1 > 0, x_2 < 0 \)
если \( x_1 + x_2 < 0 \) и \( x_1 x_2 < 0 \), то \( x_1 < 0, x_2 > 0 \)
если \( x_1 + x_2 < 0 \) и \( x_1 x_2 > 0 \), то \( x_1 < 0, x_2 < 0 \)

а) Рассмотрим уравнение \(x^2 + 7x — 1 = 0\). Для определения количества корней вычисляем дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a=1\), \(b=7\), \(c=-1\). Получаем \(D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53 > 0\), значит уравнение имеет два различных корня. Сумма корней равна \(-\frac{b}{a} = -7\), произведение корней равно \(\frac{c}{a} = -1\). Поскольку сумма отрицательна, а произведение отрицательно, один корень отрицательный, другой положительный. Следовательно, \(x_1 + x_2 < 0\), \(x_1 x_2 < 0\), и корни расположены так: \(x_1 < 0\), \(x_2 > 0\).

б) Уравнение \(x^2 — 7x + 1 = 0\). Дискриминант равен \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 49 — 4 = 45 > 0\), значит два разных корня. Сумма корней \(x_1 + x_2 = \frac{7}{1} = 7 > 0\), произведение корней \(x_1 x_2 = \frac{1}{1} = 1 > 0\). Положительная сумма и положительное произведение означают, что оба корня положительны: \(x_1 > 0\), \(x_2 > 0\).

в) Для уравнения \(5x^2 + 17x + 16 = 0\) дискриминант вычисляем: \(D = 17^2 — 4 \cdot 5 \cdot 16 = 289 — 320 = -31 < 0\). Отрицательный дискриминант говорит о том, что действительных корней нет, то есть уравнение не имеет решений в вещественных числах. г) Рассмотрим \(19x^2 — 23x + 5 = 0\). Дискриминант \(D = (-23)^2 — 4 \cdot 19 \cdot 5 = 529 — 380 = 149 > 0\), два действительных корня. Сумма корней \(x_1 + x_2 = \frac{23}{19} > 0\), произведение \(x_1 x_2 = \frac{5}{19} > 0\), оба положительны. Значит оба корня положительные: \(x_1 > 0\), \(x_2 > 0\).

д) Уравнение \(2x^2 + 5\sqrt{3}x + 11 = 0\). Дискриминант \(D = (5\sqrt{3})^2 — 4 \cdot 2 \cdot 11 = 25 \cdot 3 — 88 = 75 — 88 = -13 < 0\), корней нет. Отрицательный дискриминант указывает на отсутствие действительных решений.

е) Уравнение \(11x^2 — 9x + 7 — 5\sqrt{2} = 0\). Дискриминант: \(D = (-9)^2 — 4 \cdot 11 \cdot (7 — 5\sqrt{2}) = 81 — 44 \cdot (7 — 5\sqrt{2}) =\) \(= 81 — 308 + 220\sqrt{2} = -227 + 220 \cdot 1{,}41 = -227 + 310{,}2 = 83{,}2 > 0\), два действительных корня. Сумма корней \(x_1 + x_2 = \frac{9}{11} > 0\), произведение корней \(x_1 x_2 = \frac{7 — 5\sqrt{2}}{11}\). Поскольку \(7 — 5\sqrt{2} < 0\) (примерно -0,07), произведение отрицательно. Значит корни имеют разные знаки: \(x_1 > 0\), \(x_2 < 0\).

Теорема знаков корней основана на анализе суммы и произведения корней квадратного уравнения. Если сумма и произведение положительны, оба корня положительны. Если сумма положительна, а произведение отрицательно, корни разного знака: один положительный, другой отрицательный. Если сумма отрицательна, а произведение отрицательно, корни тоже противоположных знаков, но сумма отрицательна, значит \(x_1 < 0\), \(x_2 > 0\). Если сумма и произведение отрицательны, оба корня отрицательны. Эти правила позволяют быстро определить знаки корней без их точного вычисления.