ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 592 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых знаков:

а) \(3x^2 + 113x — 7 = 0\);

б) \(5x^2 — 291x — 16 = 0\).

Используем теорему знаков корней из задания 593.
а) \(3x^2 + 113x — 7 = 0\)
\(x_1 + x_2 < 0, \quad x_1 x_2 < 0\) \(x_1 < 0, \quad x_2 > 0\)
б) \(5x^2 — 291x — 16 = 0\)
\(x_1 + x_2 > 0, \quad x_1 x_2 < 0\) \(x_1 > 0, \quad x_2 < 0\)

а) Рассмотрим квадратное уравнение \(3x^2 + 113x — 7 = 0\). По теореме знаков корней сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\). Здесь \(a = 3\), \(b = 113\), \(c = -7\). Значит,
\(x_1 + x_2 = -\frac{113}{3} < 0\) и \(x_1 x_2 = \frac{-7}{3} < 0\). Сумма корней отрицательна, а произведение корней отрицательно, что означает, что корни имеют разные знаки. Из условия \(x_1 + x_2 < 0\) и \(x_1 x_2 < 0\) следует, что один корень отрицательный, другой положительный. При этом \(x_1 < 0\), \(x_2 > 0\). Таким образом, мы определили знаки корней, исходя из знаков суммы и произведения.

б) Для уравнения \(5x^2 — 291x — 16 = 0\) применяем те же формулы:
\(x_1 + x_2 = -\frac{-291}{5} = \frac{291}{5} > 0\),
\(x_1 x_2 = \frac{-16}{5} < 0\). Сумма корней положительна, а произведение отрицательно, значит корни имеют разные знаки. Из условия \(x_1 + x_2 > 0\) и \(x_1 x_2 < 0\) следует, что один корень положительный, другой отрицательный. В данном случае \(x_1 > 0\), \(x_2 < 0\). Таким образом, мы однозначно определили знаки корней на основе суммы и произведения.