ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 593 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Уравнение \(x^2 + 5x + m = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\). Найдите, при каком значении \(m\):

а) сумма квадратов корней равна 35;

б) сумма кубов корней равна 40.

1) Обсудите подходы к выполнению задания а) и задания б).

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность полученных ответов. Исправьте замеченные ошибки.

\(x^2 + 5x + m = 0 \quad x_1 + x_2 = -5, \quad x_1 x_2 = m\)

а) \(\left\{\begin{matrix} x_1^2 + x_2^2 = 35 \\ (x_1 + x_2)^2 = 25 \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} x_1^2 + x_2^2 = 35 \\ (x_1 + x_2)^2 + 2x_1 x_2 = 25 \end{matrix}\right.\)
\((x_1^2 + x_2^2) + 2x_1 x_2 = 25\)
\(35 + 2m = 25\)
\(2m = 25 — 35\)
\(2m = -10\)
\(m = -5.\)
Ответ: при \(m = -5.\)

б) \(\left\{\begin{matrix} x_1^3 + x_2^3 = 40 \\ x_1 + x_2 = -5 \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} (x_1 + x_2)(x_1^2 — x_1 x_2 + x_2^2) = 40 \\ x_1 + x_2 = -5 \end{matrix}\right.\)
\(-5 \cdot ((x_1 + x_2)^2 — 3x_1 x_2) = 40\)
\(x_1 + x_2 = -5\)
\(-5 \cdot ((-5)^2 — 3m) = 40\)
\(-5 \cdot (25 — 3m) = 40\)
\(-125 + 15m = 40\)
\(15m = 40 + 125\)
\(15m = 165\)
\(m = 11.\)
Ответ: \(m = 11.\)

а) Уравнение \(x^2 + 5x + m = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), для которых по теореме Виета справедливо: сумма корней равна \(x_1 + x_2 = -5\), а произведение корней равно \(x_1 x_2 = m\). Известно, что \(x_1^2 + x_2^2 = 35\). Чтобы связать это с суммой и произведением корней, используем формулу для суммы квадратов: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2\).

Подставим сюда известные значения: \((x_1 + x_2)^2 = (-5)^2 = 25\). Тогда уравнение принимает вид: \(35 = 25 — 2m\). Переносим все в одну сторону: \(35 = 25 — 2m \Rightarrow 35 — 25 = -2m \Rightarrow 10 = -2m\). Отсюда находим \(m = -\frac{10}{2} = -5\).

Таким образом, для того чтобы выполнялось условие \(x_1^2 + x_2^2 = 35\), параметр \(m\) должен равняться \(-5\).

б) В этом пункте нам даны условия: сумма кубов корней \(x_1^3 + x_2^3 = 40\) и сумма корней \(x_1 + x_2 = -5\). Нам нужно найти \(m = x_1 x_2\). Для этого используем формулу суммы кубов через сумму и произведение корней: \(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 — x_1 x_2 + x_2^2)\).

Выразим \(x_1^2 — x_1 x_2 + x_2^2\) через сумму и произведение:
\(x_1^2 — x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 3x_1 x_2\). Подставляем известные значения:
\(40 = (-5)((-5)^2 — 3m) = -5(25 — 3m)\).

Раскрываем скобки:
\(40 = -125 + 15m\). Переносим числа:
\(15m = 40 + 125 = 165\). Отсюда
\(m = \frac{165}{15} = 11\).

Таким образом, при \(m = 11\) выполняется условие суммы кубов корней.