Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 594 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
При каких значениях \(x\) верно равенство:
а) \((3x + 1)^2 = 3x + 1\);
б) \((3x + 1)^2 = 3(x + 1)\);
в) \((3x + 1)^2 = (2x — 5)^2\);
г) \((3x + 4)^2 = 4(x + 3)\);
д) \(4(x + 3)^2 = (2x + 6)^2\);
е) \((6x + 3)^2 = (x — 4)^2\).
а) \((3x + 1)^2 = 3x + 1\)
\(9x^2 + 6x + 1 — 3x — 1 = 0\)
\(9x^2 + 3x = 0\)
\(3x(3x + 1) = 0\)
\(x = 0, \quad x = -\frac{1}{3}\)
Ответ: \(x = 0, \quad x = -\frac{1}{3}\).
б) \((3x + 1)^2 = 3(x + 1)\)
\(9x^2 + 6x + 1 — 3x — 3 = 0\)
\(9x^2 + 3x — 2 = 0\)
\(D = 9 + 4 \cdot 9 \cdot 2 = 9 + 72 = 81 = 9^2\)
\(x_1 = \frac{-3 — 9}{18} = -\frac{2}{3}, \quad x_2 = \frac{-3 + 9}{18} = \frac{1}{3}\)
Ответ: \(x = -\frac{2}{3}, \quad x = \frac{1}{3}\).
в) \((3x + 1)^2 = (2x — 5)^2\)
\(9x^2 + 6x + 1 — 4x^2 + 20x — 25 = 0\)
\(5x^2 + 26x — 24 = 0\)
\(D = 676 + 4 \cdot 5 \cdot 24 = 676 + 480 = 1156 = 34^2\)
\(x_1 = \frac{-26 — 34}{10} = -6, \quad x_2 = \frac{-26 + 34}{10} = 0{,}8\)
Ответ: \(x = -6, \quad x = 0{,}8\).
г) \((3x + 4)^2 = 4(x + 3)\)
\(9x^2 + 24x + 16 — 4x — 12 = 0\)
\(9x^2 + 20x + 4 = 0\)
\(D = 400 — 4 \cdot 9 \cdot 4 = 400 — 144 = 256 = 16^2\)
\(x_1 = \frac{-20 — 16}{18} = -2, \quad x_2 = \frac{-20 + 16}{18} = -\frac{2}{9}\)
Ответ: \(x = -2, \quad x = -\frac{2}{9}\).
д) \(4(x + 3)^2 = (2x + 6)^2\)
\(4(x^2 + 6x + 9) — 4x^2 — 24x — 36 = 0\)
\(4x^2 + 24x + 36 — 4x^2 — 24x — 36 = 0\)
\(0 = 0\)
Ответ: \(x\) — любое число.
е) \((6x + 3)^2 = (x — 4)^2\)
\(36x^2 + 36x + 9 — x^2 + 8x — 16 = 0\)
\(35x^2 + 44x — 7 = 0\)
\(D = 1936 + 4 \cdot 35 \cdot 7 = 1936 + 980 = 2916 = 54^2\)
\(x_1 = \frac{-44 — 54}{70} = -1{,}4, \quad x_2 = \frac{-44 + 54}{70} = \frac{1}{7}\)
Ответ: \(x = -1{,}4, \quad x = \frac{1}{7}\).
а) Уравнение \( (3x + 1)^2 = 3x + 1 \) представляет собой квадратное равенство, где слева стоит квадрат выражения, а справа — линейный член. Для решения сначала перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:
\( 9x^2 + 6x + 1 — 3x — 1 = 0 \). Здесь мы раскрыли квадрат и упростили выражение, объединив подобные члены: \(6x — 3x = 3x\), \(1 — 1 = 0\), что даёт уравнение \(9x^2 + 3x = 0\).
Далее вынесем общий множитель \(3x\) за скобки: \(3x(3x + 1) = 0\). По правилу нуля произведения равен нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, значит, \(3x = 0\) или \(3x + 1 = 0\). Отсюда находим корни: \(x = 0\) и \(x = -\frac{1}{3}\).
б) Уравнение \( (3x + 1)^2 = 3(x + 1) \) содержит квадрат слева и линейное выражение справа. Раскрываем квадрат: \(9x^2 + 6x + 1\), а справа раскрываем скобки: \(3x + 3\). Переносим всё в левую часть:
\(9x^2 + 6x + 1 — 3x — 3 = 0\), что упрощается до \(9x^2 + 3x — 2 = 0\).
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\(D = 3^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 9 + 72 = 81\). Корень дискриминанта \( \sqrt{D} = 9 \). Корни находятся по формуле:
\(x_1 = \frac{-3 — 9}{2 \cdot 9} = -\frac{2}{3}\),
\(x_2 = \frac{-3 + 9}{18} = \frac{1}{3}\).
в) Уравнение \( (3x + 1)^2 = (2x — 5)^2 \) — равенство квадратов двух выражений. Раскрываем скобки:
\(9x^2 + 6x + 1 = 4x^2 — 20x + 25\). Переносим все в левую часть:
\(9x^2 + 6x + 1 — 4x^2 + 20x — 25 = 0\), что упрощается до \(5x^2 + 26x — 24 = 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = 26^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-24) = 676 + 480 = 1156\),
корень дискриминанта \( \sqrt{1156} = 34 \). Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-26 — 34}{2 \cdot 5} = -6\),
\(x_2 = \frac{-26 + 34}{10} = 0{,}8\).
г) Уравнение \( (3x + 4)^2 = 4(x + 3) \) раскрываем квадраты и скобки:
\(9x^2 + 24x + 16 = 4x + 12\). Переносим всё в левую часть:
\(9x^2 + 24x + 16 — 4x — 12 = 0\), упрощаем:
\(9x^2 + 20x + 4 = 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = 20^2 — 4 \cdot 9 \cdot 4 = 400 — 144 = 256\),
корень дискриминанта \( \sqrt{256} = 16 \). Корни:
\(x_1 = \frac{-20 — 16}{18} = -2\),
\(x_2 = \frac{-20 + 16}{18} = -\frac{2}{9}\).
д) Уравнение \(4(x + 3)^2 = (2x + 6)^2\) — квадраты двух выражений. Раскрываем скобки:
\(4(x^2 + 6x + 9) = 4x^2 + 24x + 36\), а справа:
\((2x + 6)^2 = 4x^2 + 24x + 36\). Переносим в одну сторону:
\(4x^2 + 24x + 36 — 4x^2 — 24x — 36 = 0\). Получаем тождество \(0 = 0\), значит, уравнение верно при любом \(x\).
е) Уравнение \( (6x + 3)^2 = (x — 4)^2 \) раскрываем квадраты:
\(36x^2 + 36x + 9 = x^2 — 8x + 16\). Переносим все в одну сторону:
\(36x^2 + 36x + 9 — x^2 + 8x — 16 = 0\), упрощаем:
\(35x^2 + 44x — 7 = 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = 44^2 — 4 \cdot 35 \cdot (-7) = 1936 + 980 = 2916\),
корень \( \sqrt{2916} = 54\). Корни:
\(x_1 = \frac{-44 — 54}{2 \cdot 35} = -\frac{98}{70} = -1{,}4\),
\(x_2 = \frac{-44 + 54}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!