ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 597 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника равна 34 см.

Пусть одна сторона прямоугольника равна \( x \) см, а другая \( x + 14 \) см.
Составим уравнение:
\( x^2 + (x + 14)^2 = 34^2 \)
\( x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156 \)
\( 2x^2 + 28x — 960 = 0 \quad | : 2 \)
\( x^2 + 14x — 480 = 0 \)
\( D = 196 + 4 \cdot 480 = 196 + 1920 = 2116 = 46^2 \)
\( x_1 = \frac{-14 — 46}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \) – не подходит,
\( x_2 = \frac{-14 + 46}{2} = \frac{32}{2} = 16 \) (см) – ширина прямоугольника.
\( x + 14 = 16 + 14 = 30 \) (см) – длина прямоугольника.
Ответ: 16 см и 30 см.

Пусть одна сторона прямоугольника равна \( x \) см, а другая сторона на 14 см длиннее, то есть \( x + 14 \) см. Такое обозначение выбрано для удобства составления уравнения, так как нам нужно найти две стороны, связанные линейной зависимостью.

Согласно условию, диагональ прямоугольника равна 34 см. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон прямоугольника. Значит, составляем уравнение:
\( x^2 + (x + 14)^2 = 34^2 \).

Раскроем скобки и упростим выражение:
\( x^2 + (x^2 + 2 \cdot 14 \cdot x + 14^2) = 1156 \),
\( x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156 \),
\( 2x^2 + 28x + 196 = 1156 \).

Вычтем 1156 из обеих частей уравнения, чтобы получить равенство с нулём:
\( 2x^2 + 28x + 196 — 1156 = 0 \),
\( 2x^2 + 28x — 960 = 0 \).

Разделим уравнение на 2 для упрощения:
\( x^2 + 14x — 480 = 0 \).

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант \( D \), который вычисляется по формуле:
\( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 14 \), \( c = -480 \).

Подставляем значения:
\( D = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116 \).

Так как \( D \) является полным квадратом, вычислим корень:
\( \sqrt{2116} = 46 \).

Найдем корни уравнения по формуле:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \),
то есть
\( x_1 = \frac{-14 — 46}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \),
\( x_2 = \frac{-14 + 46}{2} = \frac{32}{2} = 16 \).

Отрицательный корень \( x_1 = -30 \) не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной. Значит, принимаем \( x = 16 \) см.

Вторая сторона равна \( x + 14 = 16 + 14 = 30 \) см.

Таким образом, ширина прямоугольника равна 16 см, а длина — 30 см.