ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 598 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Какие из чисел \(-2, -1, 0, 2, 3\) являются корнями многочлена \(x^3 — 3x^2 — 4x + 12\)?

\(x^3 — 3x^2 — 4x + 12 = 0.\)
При \(x = -2:\)
\((-2)^3 — 3 \cdot (-2)^2 — 4 \cdot (-2) + 12 = 0\)
\(-8 — 3 \cdot 4 + 8 + 12 = 0\)
\(-8 — 12 + 8 + 12 = 0\)
\(0 = 0 \Rightarrow\) верно.
При \(x = -1:\)
\((-1)^3 — 3 \cdot (-1)^2 — 4 \cdot (-1) + 12 = 0\)
\(-1 — 3 + 4 + 12 = 0\)
\(12 \neq 0 \Rightarrow\) неверно.
При \(x = 0:\)
\(0^3 — 3 \cdot 0^2 — 4 \cdot 0 + 12 = 0\)
\(12 \neq 0 \Rightarrow\) неверно.
При \(x = 2:\)
\(2^3 — 3 \cdot 2^2 — 4 \cdot 2 + 12 = 0\)
\(8 — 3 \cdot 4 — 8 + 12 = 0\)
\(8 — 12 — 8 + 12 = 0\)
\(0 = 0 \Rightarrow\) верно.
При \(x = 3:\)
\(3^3 — 3 \cdot 3^2 — 4 \cdot 3 + 12 = 0\)
\(27 — 27 — 12 + 12 = 0\)
\(0 = 0 \Rightarrow\) верно.
Таким образом, числа \((-2), 2\) и \(3\) являются корнями многочлена \(x^3 — 3x^2 — 4x + 12.\)

При \(x = -2:\) подставляем \(x = -2\) в многочлен \(x^3 — 3x^2 — 4x + 12\), чтобы проверить, является ли это число корнем уравнения. Вычисляем \( (-2)^3 = -8 \), затем \( (-2)^2 = 4 \), умножаем на \(-3\), получаем \(-12\). Далее считаем \(-4 \cdot (-2) = +8\) и прибавляем \(12\). Складываем все: \(-8 — 12 + 8 + 12\). Результат равен нулю, то есть уравнение при \(x = -2\) верно. Значит, \(-2\) — корень многочлена.

При \(x = -1:\) подставляем \(x = -1\) в уравнение. Считаем \( (-1)^3 = -1 \), \( (-1)^2 = 1 \), умножаем на \(-3\), получаем \(-3\). Вычисляем \(-4 \cdot (-1) = +4\) и прибавляем \(12\). Складываем: \(-1 — 3 + 4 + 12 = 12\), что не равно нулю. Значит, при \(x = -1\) уравнение не выполняется, и \(-1\) не является корнем.

При \(x = 0:\) подставляем \(0\). Вычисляем \(0^3 = 0\), \(0^2 = 0\), умножаем на \(-3\), получаем \(0\), умножаем \(-4\) на \(0\), получаем \(0\). Прибавляем \(12\). Итог: \(0 — 0 — 0 + 12 = 12\), что не равно нулю. Значит, \(0\) не корень уравнения.

При \(x = 2:\) подставляем \(2\). Считаем \(2^3 = 8\), \(2^2 = 4\), умножаем на \(-3\), получаем \(-12\). Вычисляем \(-4 \cdot 2 = -8\) и прибавляем \(12\). Складываем: \(8 — 12 — 8 + 12 = 0\). Результат равен нулю, значит, \(2\) — корень многочлена.

При \(x = 3:\) подставляем \(3\). Вычисляем \(3^3 = 27\), \(3^2 = 9\), умножаем на \(-3\), получаем \(-27\). Считаем \(-4 \cdot 3 = -12\) и прибавляем \(12\). Складываем: \(27 — 27 — 12 + 12 = 0\), что равно нулю. Значит, \(3\) — корень многочлена.

Таким образом, числа \(-2\), \(2\) и \(3\) являются корнями многочлена \(x^3 — 3x^2 — 4x + 12\), так как при подстановке каждого из них в уравнение результат равен нулю, что и подтверждает выполнение уравнения.