ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 599 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни многочлена:
а) \(x^2 — 7x\);
б) \(2x — 5\);
в) \(y^3 — 4y\);
г) \(y^4 — 16\).

а) \( x^2 — 7x = 0 \)
\( x(x — 7) = 0 \)
\( x = 0 \) или \( x = 7 \).
Ответ: \( x = 0 \) или \( x = 7 \).

б) \( 2x — 5 = 0 \)
\( 2x = 5 \)
\( x = 2,5 \).
Ответ: \( x = 2,5 \).

в) \( y^3 — 4y = 0 \)
\( y(y^2 — 4) = 0 \)
\( y = 0 \) или \( y^2 = 4 \)
\( y = \pm 2 \).
Ответ: \( y = \pm 2 \) или \( y = 0 \).

г) \( y^4 — 16 = 0 \)
\( (y^2 — 4)(y^2 + 4) = 0 \)
\( y^2 — 4 = 0 \) или \( y^2 + 4 = 0 \)
\( y^2 = 4 \)
\( y = \pm 2 \) корней нет.
Ответ: \( y = \pm 2 \).

а) \( x^2 — 7x = 0 \)
Для решения данного уравнения сначала вынесем общий множитель \( x \) за скобки, так как оба слагаемых содержат этот множитель. Получаем:
\( x(x — 7) = 0 \).
По свойству произведения, если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо \( x = 0 \), либо \( x — 7 = 0 \). Решая второе уравнение, получаем \( x = 7 \). Таким образом, корнями уравнения являются два числа: \( 0 \) и \( 7 \).

б) \( 2x — 5 = 0 \)
Здесь уравнение линейное, и для нахождения \( x \) достаточно выразить его. Прибавим к обеим частям уравнения 5:
\( 2x = 5 \).
Далее разделим обе части на 2, чтобы получить значение \( x \):
\( x = \frac{5}{2} \).
В десятичном виде это число равно \( 2,5 \). Таким образом, уравнение имеет единственное решение \( x = 2,5 \).

в) \( y^3 — 4y = 0 \)
Для упрощения уравнения вынесем общий множитель \( y \) за скобки:
\( y(y^2 — 4) = 0 \).
По свойству произведения, корень будет либо при \( y = 0 \), либо при \( y^2 — 4 = 0 \). Решим второе уравнение:
\( y^2 = 4 \).
Извлекая квадратный корень, получаем два корня: \( y = 2 \) и \( y = -2 \). Следовательно, уравнение имеет три корня: \( y = 0 \), \( y = 2 \), \( y = -2 \).

г) \( y^4 — 16 = 0 \)
Это уравнение можно рассмотреть как разность квадратов, так как \( 16 = 4^2 \). Представим уравнение в виде:
\( (y^2)^2 — 4^2 = 0 \).
Применим формулу разности квадратов:
\( (y^2 — 4)(y^2 + 4) = 0 \).
Рассмотрим каждое уравнение отдельно. Первое:
\( y^2 — 4 = 0 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2 \).
Второе уравнение:
\( y^2 + 4 = 0 \Rightarrow y^2 = -4 \).
Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, действительных корней у этого уравнения нет. Таким образом, единственные корни исходного уравнения — это \( y = 2 \) и \( y = -2 \).